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Matematica operativa: perché, cos’è, com’è

Dare risposta nella società del virtuale agli emergenti bisogni formativi

attraverso nuove condizioni d’auto-apprendimento cooperativo

1 - Le nuove generazioni della società multimediale

 Nella nostra società le nuove generazioni crescono in una realtà nella quale il virtuale assume una funzione di disequilibrio rispetto all’affrontare e al vivere le esperienze naturali, relazionali e operative concrete. Tale condizione infatti ha una serie di conseguenze sui termini della strutturazione neuronale, cognitiva ed emozionale, e quindi comportamentale. La invasività del virtuale nel tempo di vita domestica del bambino fin dai suoi primissimi anni comporta non solo un impoverimento delle sue opportunità e stimoli relazionali su un piano sociale (che ne limiti progressivamente l’egocentrismo) ma ne condiziona la maturazione nei livelli di percezione e di relazione nella distinzione e nel rapporto fra sé, l’altro da sé, gli altri, il mondo[1].

Nei processi di sviluppo neuronale la carenza di stimoli corporei, manipolativi, operativi concreti priva l’individuo di potenzialità di sviluppo della rete cognitiva, cioè di connessioni neuronali, che mantengano e assicurino una forte struttura interrelazionale e di dipendenza fra lo spazio e  il tempo, fra la causa e l’effetto, fra l’agire e il trasformare, fra l’energia del pensare, del rapportarsi alla realtà e la richiesta del tradurre concretamente, cioè del fare.

Il bambino che si presenta a tre anni alla Scuola dell’Infanzia e a sei alla Scuola Primaria, pur strabocchevole sul piano dei contenuti, risulta in genere estremamente carente sul terreno dell’agire autonomo (ad esempio fa difficoltà ad allacciarsi le scarpe, …), del saper connettere le forme simboliche ai processi operativi di vita (ha un atteggiamento preponderantemente analogico piuttosto che analitico). È un gran consumatore di prodotti ma un povero operatore di processi logici coerenti rispetto alla realtà dei rapporti materiali che il muoversi nella vita comporta. Incontra difficoltà nella capacità d’adattamento alle condizioni ambientali. La sua mente risulta piena di informazioni ma la sua rete cognitiva appare molto debole, confusa e contradditoria, molto più associativa che connettiva. I suoi tempi d’attenzione appaiono contratti, la sua capacità d’impegno limitato, la memoria breve s’impone sulla memoria lunga, la percezione visiva sovrasta la capacità di interrelazione globale, plurisensoriale.

2 - Le nuove generazioni e i mutati bisogni formativi

 Tutto questo pone interrogativi e problemi nuovi e diversi alla scuola rispetto ai modelli didattici e alle metodologie formative tradizionali che si affidavano e continuano troppo spesso a fondarsi unicamente sulla percezione audiovisiva, sui contenuti formali (simboli astratti, regole date, forme vuote, nominalismi, eserciziari) da trasferire, sottovalutando e già nella Scuola Primaria escludendo la dimensione relazionale, corporeo operativa, che fra l’altro, agendo sul bambino intero, coinvolge in modo più diretto e totalizzante l’attivazione del cervello emozionale, fonte primaria dell’attenzione e della motivazione all’apprendimento.

Il problema si presenta sotto un duplice aspetto: occorre partire da questa nuova condizione formativa per dare ordine e  connessione all’esperienza, che si presenta in esuberante parte virtuale, e rispondere alla carenza formativa operativa intervenendo con l’attivazione di un “ambiente d’apprendimento” ricco di relazioni, di modalità e di tecniche adeguate, capaci di svolgere un’azione suppletiva rispetto ai vuoti e alle carenze indotti dal rapporti caratterizzanti la realtà virtuale rispetto alla complessità dei processi di un equilibrato apprendimento naturale.

Le relazioni adulto-bambino nella microfamiglia e quelle date dal rapporto monitor-bambino sono prevalentemente esecutive; le prime sono caratterizzate dall’iperprotezione, favoriscono anziché contrastare l’egocentrismo e inducono comunque alla dipendenza, le seconde portano all’accelerazione dei processi digitali-mentali fondantisi sui riflessi condizionati (si pensi alla crescente diffusione fra i bambini ancor piccoli dell’uso delle playstation).

Dunque l’obiettivo professionale fondamentale da porsi fin dall’inizio della Scuola dell’Infanzia e da proseguire per l’intero Primo Ciclo dell’Istruzione è costituito dalla realizzazione di un ambiente d’apprendimento stimolante, ricco di stimoli materiali e d’opportunità operative: gli angoli attrezzati e finalizzati nella Scuola dell’Infanzia, le aule laboratorio nella Scuola dell’Obbligo (di matematica, di lettura, di scrittura/stampa, di educazione scientifica, di musica strumentale, di lingue, di documentazione antropologica, di attività motoria, …). La organizzazione dello spazio scuola va dunque ripensata, organizzata in modo diverso, non più centrata esclusivamente sulla aula-classe, sulla fissità della disposizione dell’arredo nell’aula, sulla centralità della cattedra e sulla scansione rigida dell’orario.

La flessibilità nell’uso dello spazio e del tempo va posta alla base della nuova scuola, dove si insegna di meno, trasferendo prevalentemente contenuti, e si favorisce di più la autocostruzione dell’apprendimento attraverso la regia docente e un sistema condiviso collegialmente di organizzazione del tempo/spazio scuola.

3 - Verso un curricolo in continuità formativa

 È in questo contesto che assume significato pregnante e non occasionale un curricolo di matematica operativa, da ripensare a partire dalla Scuola dell’Infanzia e da proiettare in continuità formativa rispetto agli obiettivi di “competenze chiave di cittadinanza da acquisire al termine dell’istruzione obbligatoria”: imparare ad imparare, a progettare, a comunicare, a collaborare e a partecipare, ad agire in modo autonomo e responsabile, a risolvere problemi, ad individuare collegamenti e relazioni, ad acquisire ed interpretare l’informazione.

In questo contesto un curricolo di matematica non può ridursi ad una rigida sequenza lineare di segni, di formule e di calcoli astratti, privi di connessioni transdisciplinari e non strettamente inseriti in esperienze pratiche e di vita relazionale e operativa. Perché questo significherebbe perpetuare la già diffusa difficoltà di capire il senso pratico delle nozioni di matematica e determinare l’assoluta inadeguatezza degli esiti cognitivi e dei livelli di competenza, i cui allarmanti limiti per il nostro Paese - e per il Sud in particolare - sono stati registrati dalle indagini OCSE-PISA e da molteplici altre verifiche e valutazioni (ad es. i livelli d’accesso alle facoltà scientifiche dell’università).

L’impostazione del curricolo va dunque ripensata e tradotta fin dagli anni della Scuola dell’Infanzia con un’ottica aperta che a partire dalla costruzione dell’appropriazione consapevole del proprio corpo nelle sue parti, passa al trasferimento dei suoi assi corporei dapprima sul piano e nello spazio e successivamente diventa capace di immedesimandosi nel corpo di chi sta di fronte, quali basi fondamentali per proseguire nella costruzione topologica e strutturazione logica.

Il lavoro topologico sulle impronte, sulle ombre solari e a punto luce mobile costruiscono infatti un altro campo operativo, premessa per organizzare prima lo spazio a grandi dimensioni e quindi lavorare sulla prospettiva e sulle simmetrie a partire dalle operazioni più semplici per costruire e affrontare via via gli sviluppi più complessi.

Nei primi anni dell’infanzia una attenzione particolare andrà riservata, oltre che ai giochi di esercizi senso-motori e all’operatività, al gioco simbolico. Il simbolo, conquistato da sé, fornisce al bambino i mezzi per assimilare il reale ai suoi desideri e ai suoi interessi. Nel gioco il pensiero nasce ma è separato dagli oggetti e l’azione si sviluppa in stretto rapporto con le proprie idee (a partire da un pezzo di legno il bambino giunge a immaginarsi su un cavallo o in bicicletta. Una bambola diventa una figlia e lei madre, …). L’oggetto diventa un strumento transizionale per operare pensiero creativo, operativo simbolico, mezzo che favorisce la relazione nel gioco in gruppo e attraverso questo si mettono alla prova regole sociali, di affinamento di comportamenti coerenti al gioco e al contesto. Dunque il “fare finta che …” serve a dare ordine a se stesso “nel mondo”, in definitiva alla “casa interiore”. Mettersi in gioco significa conquistare fiducia in sé, sperimentare e sperimentarsi nello spazio, con gli oggetti e con gli altri, conquistare nuovi equilibri di serenità. Ha dunque un valore evolutivo[2]. Costituisce la premessa all’attività apprenditiva laboratoriale.

4 - Operare sul nesso fra materiale, segno e significato

 Il problema pedagogico consiste nel promuovere progressivamente la capacità di distinguere la fantasia dalla realtà senza far smarrire la capacità di muoversi creativamente nella sfera simbolica. “Lo sviluppo delle capacità simboliche è il risultato dell’emergenza e dell’integrazione di competenze diverse – prassiche, cognitive, comunicative, linguistiche – e presuppone, inoltre, la capacità di differenziare sé dall’altro e la fantasia dalla realtà”[3].

L’angolo del gioco adeguatamente attrezzato non solo a scopi didattici operativi ma anche per la “finzione” nella Scuola dell’Infanzia rappresenta dunque un ambiente d’apprendimento necessario per lo sviluppo della immaginazione ed insieme della relazione e del linguaggio. Aiuta i bambini a connotare lo spazio e ad adattarvisi in maniera funzionale a convivere e a giocare, separatamente e insieme. “È potendo esercitare a lungo complessi piani di azione simbolica a partire da un supporto realistico che si evolve la capacità immaginativa dei bambini. Essi diventano così gradualmente capaci di superare le caratteristiche fisiche e le proprietà funzionali degli oggetti per attribuire ai materiali a disposizione significati totalmente nuovi e arbitrari”[4].

Dalla coltivazione del gioco simbolico scaturisce l’evoluzione di competenze motorie, linguistiche, grafiche, operativo-simboliche. È partendo da questo lavoro didattico che potremo passare a quello simbolico formale, strutturato ed astratto che caratterizza il linguaggio logico matematico.

La matematica è essenzialmente “linguaggio”, strumento di organizzazione mentale significante della realtà fisica, delle sue correlazioni e non può essere ridotta e impoverita a disciplina scolastica formale. Per diventare strumento di interpretazione, di comunicazione e di intervento trasformativi deve poggiarsi su esperienza concrete, operative che uniche possono offrire capacità di metaforizzare e, dunque, di dare significato alla rappresentazione simbolica.

La proposta di una matematica operativa parte da queste constatazioni e dalla considerazione dell’oggetto come leva transizionale fra l’atto corporeo, percettivo, sensitivo e motorio, e la sua rielaborazione mentale e raffigurazione simbolica; rapporto interattivo di scambio oggetto/simbolo, atto trasformativo, creativo se assunto direttamente e non semplicemente acquisito associativamente per consegna e definizione adulta. Il bambino deve innanzitutto poter costruire liberamente con l’uso di sé e del materiale concreto per sentirsi attore di trasformazioni prima di essere in grado di analizzare, di astrarre e di generalizzare, quale premessa per poter giungere a tali processi.

Occorre dunque stabilire un rapporto fra gioco simbolico di finzione spontaneo e gioco manipolativo, suscitatore di relazioni e di idee (fulcro di una simbiosi naturale nella crescita emotivo-cognitiva) e quello operativo, stimolato didatticamente dall’adulto con precisi obiettivi d’apprendimento curricolare.

Partendo prevalentemente da stimolazioni di tipo percettivo (distinguere i colori, le forme, le grandezze ecc.) occorre passare allo sviluppo delle capacità di cogliere le relazioni nelle parti e negli aspetti degli oggetti e fra gli oggetti. Ciò attraverso diverse esperienze per facilitare l’opera di simbolizzazione prima personale e spontanea, poi socializzata e finalizzata alla formazione del linguaggio logico comunicativo convenzionale.

Si tratta di far acquisire al bambino, attraverso questo apprendistato, la capacità di ordinare sequenze, di connettere significati nel rapporto fra uso di materiali strutturati e la formazione della strutturazione simbolica in un equilibrato nesso fra oggetto-atto/significato e segno/significante, nella connessione fra semantica e sintassi.

5 - Verso un mutamento d’impostazione epistemologica

 Come si può ben capire da quanto fin qui esposto è necessario voltare pagina rispetto ad una impostazione scolastica, formalistica, deduttiva, assiomatica della didattica della matematica, per rivalutare il suo ruolo di scienza delle dimostrazioni, quale struttura formale di carattere essenzialmente descrittivo e non esplicativo, che costruisce modelli per rappresentare dati, operazioni e fenomeni in una visione pragmatica dei rapporti fra matematica e fenomeni reali. Si tratta di “un mutamento generale dell’impostazione epistemologica e filosofica della matematica. Possiamo descriverlo in modo espressivo e, per ciò stesso, approssimato come il passaggio da Baourbaki a Lakatos, dalla matematica come logica alla matematica come scienza per certi versi empirica, dalla conoscenza matematica intesa come scoperta di una realtà oggettiva alla matematica come costruzione di mondi di integrazione con la realtà.”[5]

Mettere a disposizione del bambino ambienti forniti di una molteplicità di materiali, strutturati e non, che consentano la coesistenza ed il passaggio fra gioco libero e gioco/lavoro didattico finalizzato è dunque fondamentale per introdurre, accelerare e consolidare lo sviluppo cognitivo attraverso attività di manipolazione, costruttiva e operativa, finalizzata a stabilire una connessione fra questi, la loro descrizione e la costruzione di modelli percettivi e, quindi, il passaggio alla formalizzazione tramite la reinvenzione e l’adozione di simboli ed espressioni scritte. L’uso di materiali strutturati svolge una specifica funzione cognitiva[6]. Essi sviluppano nei bambini “modelli” di assimilazione che consentono di passare attraverso l’attività concreta alla rappresentazione grafico simbolica, quale registrazione di azioni svolte, e attraverso questa elaborazione alla capacità di riconoscere le analogie strutturali e logiche in nuovi contesti e situazioni.

Sappiamo che il linguaggio ha un ruolo determinante nello sviluppo cognitivo[7]. Esso trova alimento in ambito matematico attraverso il fare, in un rapporto mediato fra insegnante ed alunno/i e fra gli alunni medesimi. Dall’uso dei materiali, dall’operare con essi, dall’osservazione sull’operato si perviene alla ricerca di analogie e diversità, di varianze e invarianze, di costanti, di cambiamenti e relazioni, di connessioni, composizioni e trasformazioni, di diversità di procedimenti, di equilibri e rapporti, di congruenze ed equivalenze, di proprietà, di campioni di unità variabili di misura e approssimazioni, di scale, tracciati, direzioni e sensi, di proporzioni e di funzioni, di vero, falso, probabile e impossibile, ….

In sostanza il linguaggio matematico evolve via via nella progressione operativa, passando dalla formalizzazione soggettiva a quella standardizzata attiva: in particolare si attiva la capacità di estensione, di generalità, di coerenza e di comunicabilità. Attraverso l’agire manipolativo in un contesto di socializzazione, che coinvolge l’interezza del soggetto, si determina sia uno sviluppo del linguaggio in sé che di quello cognitivo specifico, in quanto strumento di fissazione dell’esperienza di natura percettiva attraverso schemi di riferimento con funzione evocativa.

Dall’accoglienza del linguaggio naturale del bambino attraverso un didatticamente appropriato uso linguistico comunicativo - che sa legarsi al reale, che sia il più possibile discorsivo e chiaro per il ricevente, che associ il termine naturale con il formale (una specie di “linguaggio di servizio”) - il docente favorisce nella lettura delle esperienze in atto da parte degli alunni il passaggio progressivo all’uso di un linguaggio sempre più preciso e chiaro nella enunciazione dei termini di rappresentazione dell’osservato e dell’agito, cioè nella descrizione e nell’enunciazione delle idee, costruendo così la specificità del linguaggio matematico.

Nei primi anni di scuola i concetti matematici devono esser espressi con azioni, parole e figurazioni grafiche e non solo in numeri ed operazioni formali. Da qui l’importanza del parlato e della interconnessione fra lingua e matematica. Tale metodologia d’approccio comunque, pur nella diversità dei livelli, deve esser rispettata lungo l’intero percorso della scuola dell’obbligo. Il linguaggio con suoi specifici segni che esprimono le operazioni logico matematiche formali deve mantenersi sempre legato alla realtà, mai deprivato degli elementi di applicabilità nella vita. L’obiettivo dovrebbe consistere nel perseguire la costruzione di abilità trasversali che costruiscano competenze, superando quella separatezza della matematica dalle altre discipline e viceversa queste dal linguaggio logico matematico. Questo comporta una maggiore attenzione alla connotazione linguistica della matematica che è connessa ad una didattica che procede per problemi, per situazioni di vita invece che per enunciati astratti ed eserciziari applicativi di formule date.

6 - Passare dalla didattica della deduzione alla pratica dell’induzione

 Una “matematica operativa” richiede un percorso di matematizzazione graduale, non fissato linearmente ma aperto e condizionato dal singolo procedere discontinuo e talora imprevedibile degli alunni. Evita la trasmissione di regole e l’applicazione di procedure date. Non si alimenta didatticamente di assiomi. Propone ambienti, situazioni e problemi, consegna materiali, pone domande, stimola interrogativi, indica obiettivi. Si fonda sullo sviluppo di un pensiero produttivo, cioè su quei processi che portano la mente a produrre nuove procedure rispetto a quanto è stato precedentemente imparato. Ciò avviene attraverso una messa in crisi del singolo “teorema individuale in atto” e induce ad una personale ristrutturazione del campo cognitivo  Ovviamente perché ciò possa accadere in questa azione docente deve esser ben presente l’analisi dei prerequisiti, dei possibili teoremi in atto da parte dei soggetti apprendenti perché si possano determinare le condizioni di una zona di sviluppo prossimale. “Noi diventiamo consapevoli di ciò che stiamo facendo in misura proporzionale alle difficoltà che troviamo nell’adattarci ad una situazione”[8].

L’uso a scuola di materiale di recupero, di oggetti e di sussidi strutturati in particolare è la condizione per fare esperienza, per sviluppare un’attività laboratoriale, per poter procedere in situazioni di “validazione” per operare per “tentativi ed errori”[9], per imparare ed assumere un atteggiamento scientifico che ha un carattere cognitivo trasversale rispetto ai singoli ambiti disciplinari. È la condizione per passare dalle specifiche abilità alla loro messa in atto in situazioni problematiche quale condizione per l’acquisizione di competenze, che hanno una natura pluri ed interdisciplinare.

Questa pratica è l’occasione per dare la libertà ai singoli di manifestarsi attraverso l’emergere di differenti modi di osservare, di organizzare, di analizzare oggetti, situazioni e problemi e di utilizzare modalità, percorsi, rappresentazioni e strategie diversificate. Cioè per dare spazio ai soggetti, alle loro diversità[10], per realizzare pratiche didattiche e, quindi formative, di cittadinanza.

Lo svelare per induzione, il procedere per analogia nella ricerca di soluzioni o nel dimostrare proprietà è molto più vicino a quello sguardo d’insieme sulla situazione proposta che spesso caratterizza il dato delle nuove generazioni e che costituisce in particolare una caratteristica femminile nel misurarsi con un problema.

Seguire una pratica didattica induttiva comporta per l’insegnante non affidarsi/adagiarsi al libro di testo e alla trasmissione passiva, assumere un atteggiamento di osservazione e ascolto, aggiornare la propria idea rispetto alla progressione del livello raggiunto da parte dell’alunno, non solo proporre tale atteggiamento all’alunno ma procedere lui stesso secondo tale impostazione metodologica, avendo però ben chiaro l’obiettivo da raggiungere. Infatti in una situazione di vera attività laboratoriale (e non di pura esecutività da seguire) alla consegna di materiali, problemi e interrogativi presentati dall’insegnate le azioni, i percorsi e le risposte degli alunni molto spesso sono imprevedibili, sia perché possono presentarsi deviate, talora sbagliate sia perché sono personali, creative, divergenti. Ci si deve mettere in relazione con le situazioni date per favorire o approfondire, ampliare o mutare direzione rispetto all’obiettivo che ci si era proposto. Ovviamente questo richiede disponibilità, ascolto, aggiornamento, impegno. Ma senza questo esempio adulto come è possibile richiederlo al discente?

Altro elemento da tener presente è che operare in questo modo comporta la “incorporazione” inconsapevole di atteggiamenti che vanno oltre il tempo scolastico e che concorrono alla formazione della persona. Su questo obiettivo si ritornerà costituendo un asse fondamentale nella formazione di base in una scuola chiamata a concorrere ad una sostanziale società democratica, fatta cioè di cittadini e non di sudditi consumatori.

7 - Il numero e le mate-operazioni da oggetto a strumento

 Svolgere una metodologia laboratoriale e cooperativa comporta operare con corpi, soggetti, oggetti e materiali, per problemi, per situazioni, per interrelazioni sociali e per interrogativi.

Il bambino usa le dita per manipolare, plasmare, il pennello per segnare, pitturare, la matita per tracciare segni, per scrivere e comunicare (anche quando crea i primi scarabocchi), idem più avanti quando usa il calcolatore, il telefonino e il computer. Tutti questi sono strumenti attraverso i quali registra, comunica, si esprime. Via via che cresce a questi strumenti materiali - come nella storia dell’umanità le tavolette dei sumeri, le corde annodate degli incas, le asticelle intagliate, i rosari antichi e moderni, i pallottolieri, le meridiane, le clessidre, ecc. - se ne aggiungono altri più raffinati, immateriali: le lettere, i numeri, i grafi, le misure, le espressioni matematiche, ….

Quando il bambino tocca e conta le sue dita, i giocattoli o le palline, l’oggetto mentale non sono i “numeri” ma appunto l’idea/immagine delle dita, dei giocattoli, delle palline. La parola numero è per lui uno strumento di espressione delle dita, degli oggetti, degli atti, cioè di insiemi concreti, vissuti. Troppo spesso la scuola si dimentica di questo. Cioè che i numeri sono uno “strumento” operatorio organizzativo e cognitivo e non l’oggetto in sé della conoscenza del bambino. Sono solo più raffinati dei bastoncini, delle palline, del pallottoliere, dei regoli di Gattegno (cioè i numeri in colore) o della scatola multibase e dell’abaco. Certo sono, come i diversi programmi software del computer, articolati e complessi, ed è necessario analizzarli progressivamente, ma sempre tenendo presente che sono degli strumenti e non l’oggetto in sé della conoscenza, servono solo per molteplici e specifiche operazioni nel nostro caso didattiche, proprio come il software.

La didattica tradizionale invece ne fa l’oggetto esclusivo dello studio inteso come pura memorizzazione, li isola dal mondo reale. Impone elencazioni, conteggi, operazioni aritmetiche in un navigare senza senso. Come guidare un automobile in una piana sterminata senza avere un orientamento e una meta. Ed è così che si propongono e si fanno imparare le addizioni e le sottrazioni come atti puramente aritmetico formali, senza stabilire una vera relazione logica, di pensiero con la percezione e l’osservazione della realtà, nella quale troviamo invece svilupparsi una relazione additiva che si estrinseca distinguendo il discreto dal continuo, le misure-stati (numeri naturali) dalle azioni-trasformazioni e funzioni (numeri relativi). E all’interno di questa distinzione le relazioni additive ci presentano composizioni, collegamenti, operazioni e relazioni fra misure e trasformazioni che si connettono in modi e sequenze diverse, formando differenti categorie logiche di relazioni additive. Altrettanta considerazione potremmo svolgere per i problemi che richiedono relazioni moltiplicative[11]. Il numero diventa anch’esso, come il sussidio strutturato, lo strumento per operare su un percorso, così come l’automobile nella strada. Certo bisogna saperlo guidare ma  per utilizzarlo occorre avere una meta, studiare e sapere il percorso, conoscere il codice stradale, avere cognizione di quello che si vuole raggiungere, utilizzare più conoscenze e abilità per poter muoversi con sicurezza, tranquillità e competenza. Non girare a vuoto senza senso.

La difficoltà dei bambini e dei ragazzi nell’assumere un atteggiamento positivo nei riguardi della matematica consiste appunto in questo, nel non capire al di là del giudizio e della valutazione scolastica a cosa servono i diversi numeri, le diverse regole e i teoremi formali.

8 - Il laboratorio di matematica operativa

 L’obiettivo che dovrebbe avere la scuola non è la matematica in sé ma lo sviluppo del pensiero e la sua duttile manipolazione corporea (psicocognitiva) da parte del soggetto apprendente nel rapporto con la realtà. In sostanza si tratta di attivare nell’azione didattica esperienze che richiedano azione, osservazione, analisi, induzione, analogie, formalizzazioni, condizioni queste per educare alla riflessione, all’autonomia e alla metacognizione, dove il docente sta in mezzo fra l’oggetto dell’apprendimento e il soggetto apprendente in una triplice relazione.

Rendere semplice l’apprendimento non significa banalizzare ma assicurare una connessione fra realtà materiale, realtà simbolica e uso dei linguaggi.

La consapevolezza dei limiti formativi insiti nella pratica della esercitazione, memorizzazione aritmetica, geometrica rigida, come predominante se non unico e finale oggetto dell’apprendimento scolastico, cioè di un formalismo matematico che poggia su una sintassi deprivata dalla semantica, ha condotto un gruppo di insegnanti del MCE (Movimento di Cooperazione Educativa) nella seconda metà degli anni 80 a riprendere un vecchio percorso del Freinet[12] e del MCE di  ricerca-azione di didattica operativa[13] per offrire al bambino/a e al ragazzino/a della scuola di base strumenti strutturati che facessero da ponte cognitivo fra l’oggetto azione, la sua rappresentazione mentale e il relativo segno grafico. Eravamo alla ricerca di una metodologia e di una didattica che garantisse la permanenza di una rapporto fra uso degli attrezzi materiali e la autoformazione consapevole di quelli simbolici. Ci siamo così rifatti alle elaborazioni pratiche del MCE degli anni 60 e 70[14] nonché alle esperienze di Zoltan Paul Dienes[15] e di Emma Castelnuovo[16] dando avvio nel 1987 alla costituzione del gruppo “Materiali e Tecniche di Cooperazione Educativa” e giungendo alla fine degli anni 90 alla realizzazione di un “laboratorio mobile di matematica operativa”[17] che abbiamo denominato Matemixer, quale complesso di strumenti strutturati multifunzionali utilizzabili nel curricolo dalla scuola dell’infanzia a quella della preadolescenza.

La proposta si compone di una serie di materiali didattici che, ideati e sperimentati in anni di lavoro a scuola, di aggiornamento docente e di tutoraggio con gli scolari in classe, vogliono offrire agli insegnanti della scuola di base degli strumenti concreti che consentano di realizzare attraverso attività manipolative la costruzione di percorsi d’apprendimento che partano dal fare concreto per giungere ai processi d’astrazione, quale condizione d’avvio nella proiezione  del ragionamento sensomotorio (cioè fisico e corporeo) alla formazione di progressive e molteplici metafore concettuali quale fondamento nello sviluppo del ragionamento astratto[18].

Non si tratta di una proposta di semplificazione esercitativa, cioè di banalizzazione. Ma di un’offerta agli educatori di strumenti facilitatori per la realizzazione di un’attività laboratoriale anche in condizioni ambientali rigide (l’aula-classe del vecchio modello). Essa richiede e stimola una diversa professionalità docente. Richiede all’insegnante non di trasmettere e giudicare nozioni ma di organizzare per gli allievi un idoneo ambiente di lavoro secondo la teoria vygotskijana del “spazio prossimale di sviluppo” nell’apprendimento. Al docente non si chiede di insegnare in senso trasmissivo ma di predisporre con materiali appropriati e consegne idonee ed aperte un ambiente di apprendimento in se possibilmente validante, di favorire con un’organizzazione flessibile la cooperazione elaborativa, di sollecitare interrogativi e di porre lui stesso ed in modo costante domande atte a stimolare la sistematicità, la riflessione, la formalizzazione e la metacognizione.

Va precisato che la proposta di una “matematica operativa” ha un carattere fondamentalmente metodologico. Essa cioè non è riservata alla sola fase dell’infanzia (Scuola dell’Infanzia e primo ciclo della Primaria come talora si può intendere) ma, se autenticamente assunta nei sui termini epistemologici, costituisce una medotologia valida per l’intero percorso della scuola dell’obbligo e una modalità necessaria nella stessa formazione didattica degli insegnanti[19]. Essa ha una validità formativa sia per gli alunni che per i docenti, questi ultimi troppo spesso nutriti di sola teoria senza una sua connessione con una pratica laica e attiva di organizzazione dell’(auto-)apprendimento.

 Rinaldo Rizzi

Cagliari, 8 febbraio 2008.

 Testo predisposto per la rivista trimestrale “Ricerche pedagogiche”, edita a Parma, anno XLII

e diretta dal prof. Giovanni Genovesi dell’Università di Ferrara.

Verso una matematica “umana”

Partire dal rapporto del bambino/ragazzo con la sua realtà

 Chiediamoci perché è tanto diffusa fra gli adolescenti e fra molti adulti, in particolare di genere femminile, una estraneità se non un senso di paura ed un atteggiamento di ansia  verso la disciplina matematica.[1]

Eppure il bambino piccolo dall’Asilo Nido fin ai primissimi approcci alla Scuola Primaria si presenta curioso, attivo, interessato a dare ordine al suo rapporto con lo spazio e con gli oggetti che lo circondano, a risolvere i sui piccoli (per noi) problemi matematici, a cercare soluzioni inventandosi nuovi percorsi e modalità risolutive. Poi rapidamente questo atteggiamento si perde.

Dunque non è la strumentalità logica di questo linguaggio naturale a rappresentare un ostacolo ma è il modo di porgerlo, l’arretratezza di una impostazione didattica assiomatica e formalistica dell’insegnamento scolastico che allontana il soggetto dal mondo naturale imponendogli segni spesso insignificanti, procedure astratte, percorsi univoci e operazioni formali lontane dal suo modo di approcciarsi al vissuto interpretativo e operativo.

L’insegnamento della matematica a scuola risulta ancora come disciplina separata dalla psicologia, dalle neuroscienze cognitive. Si presenta a se stante. Predefinita. Rigida. Data. Devi solo ascoltare, ripetere e applicare. Tu non c’entri. Il tuo vissuto, il tuo modo di osservare e di descrivere la realtà riguarda semmai l’ambito linguistico non la “disciplina” matematica.

In verità è proprio questo distacco, questa separazione culturale che rende questa disciplina lontana ed estranea, difficile da assumere consapevolmente e con piacere per il discente, tale da non far percepire il suo potenziale per la crescita formativa.

Va dunque rovesciato l’approccio metodologico didattico: occorre partire dal bambino intero per favorirne attraverso stimoli adeguati la sua costruzione e progressione logico matematica e non viceversa. Occorre passare dall’insegnamento trasmissivo centrato sulla materia alla comprensione da parte docente di come il bambino/ragazzino agisce e pensa, per sollecitarne interrogativi (anziché spegnerli) e promuovere consapevolezze intorno al personale modo di organizzare l’azione e l’esperienza, di porla in relazione cognitiva dentro di sé e con gli altri in un rapporto dinamico fra le personali congetture e credenze (teoremi in atto[2]) e la conoscenza umana.

Il corpo strumento fondante

Il bambino/a impara a crescere in quanto si rende consapevole dell’effetto delle proprie azioni sulla realtà. Tale consapevolezza lo spinge a nuovi bisogni, a percepire la forza che acquisisce progredendo nelle sue possibilità esplorative e nella strutturazione del suo potere cognitivo reso sempre più robusto e complesso. Gli dà coscienza di sé e con essa conserva curiosità e pulsa di rinnovata energia.

Ne deriva la discriminante necessità di partire dal corpo durante l’intera fascia dell’infanzia per assicurarne una strutturazione psicomotoria e per la maturazione del suo rapporto attivo con gli oggetti insieme alla sua sicurezza nello spazio. La topologia risulta essere il primo terreno sul quale si deve distendere l’intervento didattico promuovendo, tramite l’azione cinestesica, l’evoluzione neurologica. Attraverso lo sviluppo successivo della capacità di differenziazione, di discriminazione e di posizionamento si giunge alla capacità di porre in relazione non solo riferimenti statici ma corpi in movimento. Seguirà l’acquisizione delle relazioni logiche di conservazione, di classificazione e di seriazione. Si perverrà così con pazienza al rapporto fra percorso e durata, fra spazio ed energia immessa/consumata e all’idea di spostamento, di cambiamento e di trasformazione, cioè alle premesse per una maturazione dell’idea di tempo e alle teorie in atto, personali e di gruppo, di “unità di riferimento/misura” vissute, certamente relative ma significanti.

Il soggetto arriva a scuola con la sua capacità naturale di subitizzare (cioè di cogliere istantaneamente una quantità numerica piccola: la numerosità, quale unica proprietà di un insieme di elementi), così come succede per l’abilità di percezione numerica di molti animali senza che prima vi sia stato un addestramento, in quanto patrimonio biologicamente fondato.[3] Ed è da questa potenzialità innata del cervello che bisogna partire, essa è il fulcro sul quale poggiare i successivi sviluppi. Occorre avere piena consapevolezza che corpo e cervello sono nella storia umana e in quella di ogni singolo individuo (filogenesi e ontogenesi) evoluti insieme in un concorso reciproco, fatto di bisogni di movimento, di sensazioni e azioni, di emozioni, sentimenti e creazioni.

L’intervento didattico deve perciò tener fermo questo inscindibile nesso, corpo-cervello, per poter interpretare lo stato della progressione e per poter intervenire con proposte adeguate, per sollecitare nuove strategie e offrire stimoli prossimali all’attività cinestesica, alla costruzione cognitiva.

“L’aritmetica di base impiega le seguenti capacità: subitizzare, percepire le relazioni aritmetiche semplici, stimare la numerosità con un’approssimazione raffinata (per raggruppamenti più grandi), e utilizzare simboli, calcolare e memorizzare tabelle corte”.[4]

È indispensabile partire dal pensiero inconscio del soggetto, cioè dalla comprensione automatica, immediata, implicita nell’azione per lavorarci sopra, partendo dal saper cogliere gli oggetti, dall’agire  e costruire con essi, dal porli a confronto classificandoli e organizzandoli, dall’operare con obiettivi definiti, espliciti. Tutto questo richiede lo sviluppo permanente di una “connessione” in un crescere a spirale fra l’azione concreta e il pensiero. In definitiva occorre avere presente che questo nesso è assicurato dalla costante elaborazione di “metafore concettuali” nella proiezione del ragionamento sensomotorio (cioè fisico e corporeo) nel ragionamento astratto.[5] Ogni teorema cognitivo in atto del singolo soggetto, giusto o approssimato che sia, è il frutto e richiama esperienze, immagini vissute, che ne garantiscono la connettività personalizzata fra semantica/significato e sintassi/regola. L’azione del docente sta nel porla a confronto con nuove situazioni corporee, materiali, operative in nuovi contesti di socializzazione per metterne alla prova la sua validazione, per promuovere consapevolezza, condizione essenziale per poter sollecitare e proporre nuovi interrogativi, nuove e diverse operazioni e rielaborazioni.

 Lo spazio strumento condizionatore

Per una tale pratica didattica risulta ovvia l’inadeguatezza di un’aula rigidamente strutturata, immobile nella articolazione/disposizione dei suoi arredi, limitata agli strumenti/sussidi dei libri di testo, alle dispense e alle fotocopie, uguali per tutti. Occorre ben altro. Uno spazio flessibile adattato alle contingenze operative del lavoro (singolo, di coppia, di gruppo, collettivo e trasmissivo) e dei corpi “vivi” che si muovono in organizzata autonomia, che agiscono nel concorde rispetto delle regole convenute e delle consegne operative. Una complessità di strumentazione che offra opportunità di manipolazione, di costruzione, di scambio, di validazione. All’alunno, già fortemente condizionato e fisicamente deprivato dalla società del virtuale, è necessario garantire spazi di socializzazione con i coetanei tramite lavori in coppia e di gruppo, l’attivazione di tecniche di cooperazione educativa e per questo la disponibilità di strumenti strutturati e non, che richiedano un coinvolgimento operativo corporeo, che gli offrano l’opportunità della verifica diretta e con essa l’affinamento progressivo del rapporto fra spazio e tempo, fra pensare e fare.

Da questi presupposti pedagogici è nata l’esperienza MCE degli anni 60 del gruppo “matematica moderna”[6] e dall’87 quella attuale del gruppo Materiali e Tecniche di Cooperazione Educativa e della strumentazione didattica del “laboratorio mobile Matemixer”.[7]

Concorrere a costruire nell’allievo la strumentazione cognitiva per l’ambito logico-matematico (aritmetica e geometria di base) significa avere chiara la necessità di un costante rapporto metaforico fra l’uso degli strumenti materiali (dal corpo agli oggetti) e la formazione di quelli simbolici. Per questo lavoro di organizzazione e rappresentazione di percorsi è fondamentale la documentazione, della quale, non solo lo spazio aula-pareti deve costituire il testimone e la memoria visiva. Anche gli strumenti tecnologici infatti offrono rapide possibilità di documentazione dell’operato del bambino consentendone il riutilizzo successivo per riflessioni, confronti, nuove riproposizioni.

Un’ulteriore riflessione meriterebbe inoltre il problema del rapporto del variare del significato degli strumenti e dell’oggetto rispetto alle diversità del contesto operativo e simbolico. Adeguate consegne per  l’uso di semplici cubetti colorati consentono potenzialità  ampie e diverse a seconda del contesto cognitivo e simbolico.

 Vediamo alcuni esempi

Un’idea base che l’uomo, quello primitivo e insieme quello moderno a partire dal bambino, si trova a doversi dare per muoversi nello spazio, nella relazione sociale e nel tempo è costituita dall’idea di “confine”. Su quest’idea un lavoro necessario da sviluppare in un progressivo approfondimento nel tempo della crescita può seguire possibilmente la seguente traccia:

a)    il confine come demarcazione di un contenitore di oggetti, di un insieme di corpi;

b)    il confine come delimitazione di uno spazio chiuso, topologico;

c)    il confine come ambito concreto e ideale di inclusione (dentro), di esclusione (fuori) e d’intersezione (fra);

d)    il confine come linea, segnale di frontiera di un territorio, segno margine di una possibilità, di un comportamento;

e)    il confine come limite inferiore, superiore, sottostante, estremo di una praticabilità, di una misura;

f)     il confine come riferimento estremo, unità di misura di una possibilità di percorso, d’intervento, d’azione civica e legale, di atteggiamento morale.

Nella distinzione fra questi diversi approcci al concetto di confine andrebbe poi sviluppata la riflessione sulle rispettive differenze e analogie fra confine materiale, confine simbolico e confine psicologico per le sue implicazioni nell’intervento educativo intorno alla riflessione sulla relazione.

Un altro nodo concettuale che ha bloccato per migliaia di anni l’umanità in occidente fin alle porte della modernità è il concetto di “zero”.

Didatticamente la promozione di tale idea può esser resa chiara e solida a partire dall’infanzia attraverso una molteplicità di esperienze da realizzare in diversi contesti/sfondi integratori che ne approfondiscano l’entità. Vediamo una traccia di percorso:

a)    lo zero inteso come contenitore, collezione, insieme vuoto di oggetti;

b)    lo zero come un nulla, un vuoto di memoria, di ricordi, di emozioni;

c)    lo zero come costruzione, azione, presenza assente/mancante di oggetti/azioni, assenza di resto in un’operazione sia materiale che contabile;

d)    lo zero come riferimento, punto di inizio di una linea/misura;

e)    lo zero come punto, posizione d’osservazione (il fuoco) rispetto ad un panorama, ad un angolo/proiezione;

f)     lo zero come origine/partenza di un percorso, di una traccia, di un moto;

g)    lo zero come punto di incrocio degli assi (cartesiani), dei diametri del cerchio (il perno di una ruota);

h)   lo zero come assenza di unità associate ad un determinato valore;

i)     lo zero come fulcro di una leva, di una bilancia, di una ruota.

Altro tema di non sempre facile comprensione può essere l’idea della “metà” ed i suoi sviluppi.

Vediamo anche per questo obiettivo un possibile percorso d’intervento didattico nella costruzione del rapporto metaforico fondante fra concreto ed astratto:

a)    la metà come collezione di oggetti e corrispondenza fra tanti quanti;

b)    la metà come operazione su un insieme di oggetti per trovare approssimativamente una separazione equipotente/equivalente;

c)    la metà come operazione su un piano/foglio della sua divisione/piegatura in due parti equivalenti, simmetriche ma anche di un oggetto, di in frutto, di una foglia, di una conchiglia  con un asse di simmetria centrale;

d)    la metà come costruzione su una linea della divisione in due parti uguali e l’individuazione del punto medio;

e)    come costruzione progressiva della metà in un intero (un piano chiuso o un solido);

f)     la metà di una unità di misura di tempo (ora, giornata, minuto)

Da queste premesse poi, attraverso successivi lavori di metaforizzazione nel rapporto fra dominio sorgente e dominio obiettivo, partendo dell’idea di metà si arriva al concetto della frazione 1: 2 cioè ½ e così via ripetendo l’operazione si giungerà successivamente al primo concetto di frazione (1/2; ½:2=¼; ¼:2=1/8 …).

Muovendo sempre da queste basi si affronterà l’analisi del rapporto fra zero e uno a partire dalla manipolazione/operazione sugli oggetti per giungere alla operazione sulla linea dei numeri fra il punto d’inizio, lo zero, e il punto dell’intero (cioè della prima unità, l’uno) per costruire un’articolata idea di frazione e quindi del ruolo dell’unità di frazione nella operazione con interi.

È solo partendo da questo paziente lavoro che i bambini potranno capire perché la moltiplicazione non dà sempre un prodotto più alto del moltiplicando e una divisione dà sempre un quoziente più piccolo del divisore.

Anche in questo caso viene spontaneo il raccordo fra la costruzione del concetto matematico della metà e le varie connessioni con l’uso linguistico estensivo di tale idea base: l’appartamento di mezzo, a metà giornata e della festa, la mezza luna, nel mezzo del guado e del temporale, nel mezzo del percorso della vita, a mezz’aria, a mezzo servizio, è/ha fatto una mezza figura, mezzacartuccia, fare il/essere mezzo morto, a mezza voce, mezza fortuna, sospeso a mezz’aria … Un tale lavoro consente di far riflettere, distinguere e analizzare l’uso astratto o concreto del termine, il suo riferimento all’intero figurato o meno, allo strumento che “dimezza” l’energia da immettere/riservare.

La trasversalità cognitiva

La potenzialità cognitiva trasversale di questo tipo d’impostazione didattica, nella quale tra l’altro il confine fra matematica, fisica e lingua si fa esile, è evidente. Essa richiede una costante attenzione verso il modo di pensare logico naturale del soggetto, esige una impostazione ‘umana’ non solo sul piano socio-relazionale ma su quello psico-cognitivo. Non più imposta dall’esterno ma lievitata nel rapporto fra il soggetto e il suo mondo. La conoscenza infatti fermenta come co-costruzione/conquista e non come accatastamento, accumulazione passiva.

Un’azione didattica moderna ed efficace non può che partire dall’esperienza del soggetto che apprende, rispettandone e favorendone la connessione inferenziale che è dominata dal meccanismo neuronale, il quale attraverso le metafore concettuali passa dal concreto all’astratto e via via nel processo di metaforizzazione dal dominio concettuale sorgente al dominio concettuale obiettivo[8] in una concettualizzazione e percorso di formalizzazione personalmente conquistato.

Questo procedere inferenziale ha bisogno ovviamente di poggiare su basi solide, sulla molteplicità di esperienze vive che la scuola, quale luogo privilegiato di socializzazione fra coetanei e di apprendimento professionalmente organizzato,  deve garantire. Non può che essere l’esito di una co-costruzione di un edificio cognitivo che risulta tanto più solido quanto più le sue basi sono fondate su concrete esperienze di vita e sul rapporto interattivo fra testa e corpo. Ciò in coerenza con un percorso di elaborazione logica matematica di base che parte da un apprendimento naturale di tipo manipolativo e percettivo, di percorre attraverso un itinerario tatonnement (a sonda, per tentativi e selezione d’errori) e si verifica attraverso una applicazione operativa concreta per la validazione dei processi di generalizzazione e di formalizzazione.

Rinaldo Rizzi

Cagliari, 1 settembre 2007.

Verso il linguaggio matematico

Per costruire le fondamenta formative è importante iniziare a stimolare l’attività di strutturazione fin dalla prima infanzia

I Nuovi Orientamenti dell’attività educativa nelle scuole materne statali del 1991 mostravano un’attenzione molto più pronunciata alla formazione logico-matematica di quanto non si possa intravedere sia nelle Indicazioni per il Curricolo per la scuola dell’infanzia del 2004 che in quelle del 2007. In entrambe, forse perché sono “indicazioni” e non “programmi” ci si è limitati nel primo caso a brevi riferimenti agli Obiettivi Specifici d’Apprendimento” col paragrafo “Esplorare, conoscere e progettare” e così pure nel secondo col capitolino “La conoscenza del mondo (Ordine, misura, spazio, tempo, natura)” integrato dal quadro dei relativi “Traguardi per lo sviluppo della competenza”.

In realtà sia gli Orientamenti che le Indicazioni nazionali, elaborati per la Scuola dell’Infanzia, riflettono una certa sottovalutazione storica (che certo ha fondamenti sociali) dell’importanza di questa fascia d’età nella costruzione  delle  condizioni di una base cognitiva adeguata allo sviluppo successivo e in particolare del linguaggio matematico. Del resto gli esiti oltremodo negativi, registrati dal nostro paese nelle indagini OCSE-PISA, relativamente ai livelli formativi raggiunti in campo matematico dalle nuove generazioni, dimostrano un ritardo complessivo nella attenzione culturale e nella impostazione didattica della scuola italiana. Questa inadeguatezza appare più evidente nell’area logico matematica perché, in uno sfondo formativo sociale frammentato e oggi sempre più affidato in parte preponderante al virtuale,  le nuove generazioni sono povere di esperienze sociali e operative, manipolative e corporee, esperienze che pongono naturalmente il soggetto di fronte a problemi di scelta, condizionati dalla materialità dell’agire nel rapporto “logico” fra spazio e tempo. Si pensi alla scomparsa dell’esperienza dei giochi di strada e di una casa-abitazione ma anche luogo di lavoro (fattoria, laboratorio, officina, cortile, …), dove il bambino osserva, rielabora e imita nella sua attività di gioco-apprendimento.

Nell’epoca del virtuale forse ci si accontenta più di un tempo maggiormente preoccupato della forma più che della sostanza, dell’apparire e del consumare più che del comprendere e del controllare.

Più che mai, dunque, appare urgente e necessario un lavoro di riflessione pedagogica e di ricerca-azione didattica in questa fondamentale fascia d’età sul modo d’introdurre i bambini ai linguaggi simbolici ed in maniera più specifica a quello logico-matematico.

Fin dal primo anno della Scuola dell’Infanzia va impostato un dettagliato lavoro didattico sui processi di differenziazione e di corrispondenza degli oggetti nello spazio di vita a partire dall’attività spontanea; con opportune attività ludiche va sollecitata la  differenziazione delle parti di sé e la conquista degli assi cartesiani corporei per la loro proiezione poi sul piano (orizzontale e verticale) e di movimento nello spazio, tutto ciò in una progressiva organizzazione di relazioni spaziali attraverso l’individuazione di corpi di riferimento (la sicurezza di sé nello spazio vissuto: il fuori di sé e gli altri).

Il bambino, immerso in situazioni materiali e simboliche strutturate, non dispone preventivamente di un bagaglio cognitivo che gli consenta di muoversi con sicurezza e di leggere e interpretare il mondo che lo circonda. Spetta dunque alla “prima scuola” porlo costantemente in ambienti d’apprendimento che favoriscano la  “zona di sviluppo cognitivo prossimale”[1] perché ne venga stimolata la curiosità e con essa la possibilità di relazione, elaborazione ed evoluzione cognitiva.

Naturalmente non sono sufficienti le “occasioni” spontanee per apprendere, occorre l’intervento mediazione e orientamento dell’educatore che, osservando i diversi comportamenti, ne colga e valorizzi le potenzialità interpretative più o meno consapevoli, per aiutarlo con nuove esperienze a costruire da sé atteggiamenti e risposte progressivamente più adeguati.

L’obiettivo della capacità di discriminazione spaziale, cioè di posizione e partizione, risulta fondamentale nell’acquisizione non solo nella formazione del concetto di spazio ma insieme nella relativa organizzazione e controllo delle parti.

Solitamente per l’introduzione all’idea di numero - al di là della pura conta mnemonica di suoni con scarsa potenzialità di identificazione e trasferibilità di suono/parola-oggetto/evento  - si utilizza la pratica del “mettere in corrispondenza” due oggetti o due collezioni, cioè un termine a un termine. Insieme e prima di questa attività va impostato un lavoro finalizzato alla capacità di distinzione di elementi differenti in un insieme dato e di costruzione di fili/reti metaforiche di riferimento.

Nel lavoro di preparazione all’introduzione dell’idea di numero  J. Briand[2] individua una successine di apprendimenti:

1. Essere capace di distinguere due elementi differenti di un insieme dato.
2. Saper scegliere un elemento di una data collezione.
3. Enunciare un termine-numero in una successione (uno e il successivo).
4. Conservare la memoria della collezione degli elementi già scelti.
5. Concepire la collezione degli oggetti non ancora scelti.
6. Ricominciare (per gli oggetti non ancora scelti) in una successione (2, 3,4, ...) fino all’esaurimento degli oggetti (collezione rimasta vuota).
7. Aver ben chiaro che si deve scegliere l’ultimo elemento della collezione.
8. Enunciare l’ultimo termine-numero.

Tutto  questo itinerario cognitivo presuppone una precisa azione didattica da sviluppare intorno alla “organizzazione di una collezione” di oggetti, delle loro proprietà e successivamente di eventi. L’attività di apprendimento in tale direzione si sviluppa proponendo al bambino situazioni nelle quali sia posto nella necessità di percorrere le collezioni di oggetti in maniera ordinata e controllata. Trattasi di un’attività di enumerazione. Tale capacità non dipende dalla conoscenza del contare ma da quella del posizionare gli oggetti e di posizionarsi nello spazio in un rapporto di orientamento e di successione, cioè dal raggiungimento della capacità di percorrere una collezione in maniera ordinata e controllata.

Vediamo degli esempi di pratiche di enumerazione.

L’attività più ovvia e spontanea consiste nel muoversi nello spazio secondo un preciso percorso (con punti precisi di riferimento) avendo un obiettivo da raggiungere (nell’aula, nella palestra, dentro l’edificio scolastico, in cortile/giardino, …), attività che richiede al bambino di ordinare/memorizzare la sequenza della rotta/movimento.

Un’azione più strettamente finalizzata si può realizzare disponendo su un piano, visivamente ben controllato dai bambini, dei contenitori rovesciati (bicchieri o tazzine o cappellini o …) contenenti sotto, cioè coprenti, degli oggettini (caramelle, bottoni, dadi od altro). La quantità della collezione (i contenitori con l’oggetto nascosto) verrà disposta dall’insegnate in rapporto al grado di difficoltà e sviluppo dei singoli bambini. Questi dovranno alzare di seguito un contenitore alla volta, levare e mettere da parte (possibilmente in un contenitore grande e aperto) l’oggettino prelevato quindi rimettere il bicchiere al posto originale (che sarà in precedenza segnato dall’insegnante con pennarello od altro). Quando il bambino avrà finito,  insieme si verificherà se sotto i contenitori sono rimasti ancora degli oggettini. Sarà così il gioco medesimo a validare o meno l’operazione svolta.

Altro percorso potrebbe consistere in una gara di gruppo nella quale vengono eliminati i concorrenti al primo o al secondo errore e insieme si verifica chi riesce a completare il percorso d’estrazione senza errori, oppure, se la regola data è che si può proseguire fino alla fine anche dopo aver sbagliato, si provvederà a raggruppare intuitivamente quelli che sono incorsi in meno/pochi errori.

In una gradualità di proposte nell’attività di enumerazione di collezioni si potrà predisporre:

a)    una collezione composta da 2-3 sottocollezioni ben distinte, spazialmente (cioè insiemi di oggetti coperti ben separati fra loro) e quantitativamente (diversi per quantità e poco numerosi), al fine di favorire il processo di discriminazione e dunque di enumerazione;

b)    una collezione con due sottocollezioni, una quantitativamente maggiore e una sensibilmente minore, che ne faciliti la distinzione;

c)    una collezione molto disordinata e numerosa;

d)    una collezione disposta in modo ordinato per righe, colonne o a riquadro.

Questo lavoro non richiede da parte dei bambini la capacità di contare ma ne costituisce la indispensabile premessa cognitiva per poter porre basi solide alla strutturazione dell’idea di numerazione.

In tutte queste situazioni l’insegnante avrà cura di osservare i comportamenti, di notare le diverse strategie utilizzate dai bambini (se seguono un preciso criterio: secondo un ordine topologico, dalla collezione più piccola alla maggiore o viceversa, oppure se procedono indecisi, confusamente, a caso) e di registrare gli esiti dei singoli bambini; questo al fine di costruire una scheda/mappa sui livelli operativi e d’apprendimento dei singoli e così autoregolarsi nelle successive proposte di lavoro. Sarà inoltre occasione per farli parlare, dialogare e confrontare fra di loro, incoraggiandoli all’osservazione reciproca per stimolarne l’autoriflessione naturale. È chiaro che l’articolazione dell’operatività corporeo manuale e lo sviluppo del linguaggio, vanno di pari passo in un contesto d’apprendimento organizzato.

Un lavoro parallelo e successivo di partizione va svolto con collezioni di oggetti differenziati (giocattolini, caramelle diverse, dadi colorati e infine dadi numerati). Si attiva sempre la su indicata procedura  dell’oggetto coperto e si propone il gioco con diverse consegne operative e obiettivi d’apprendimento. Vediamo alcune proposte.

a)    L’insegnante invita i bambini ad osservare come egli predispone la collezione di oggetti e bicchieri poi, in base ad un preciso ordine (il giocattolo x,y; le caramelle x, y; i colori x,y; il/i numeri x, y o x, y, z) avviene la individuazione da parte dei bambini e la verifica attraverso il sollevamento del coperchio (bicchiere o ...), questo può avvenire in modo casuale (indifferentemente se prima coglie gli oggetti x e poi gli y o viceversa) oppure in modo ordinato (prima gli x, poi y e così via).

b)    L’insegnante pre-dispone solo in metà o in un terzo dei bicchieri esposti, gli oggetti ; alla fine, dopo una breve pausa, l’alunno o il gruppo insieme devono ricordare dove si trovano gli oggetti nascosti per prelevarli.

c)    Completata l’operazione proposta lettera b, l’insegnante può chiedere ad altri, singoli o gruppo, di riporre sotto i medesimi contenitori gli oggetti in precedenza prelevati dai compagni (avrà prima provveduto a registrarne la posizione).

d)    L’insegnante dispone diversi oggettini sotto i coperchi e li invita singolarmente o in gruppo a prelevare o a indicare seguendo l’ordine temporale/spaziale con il quale sono stati sistemati.

e)    Un lavoro parallelo al gioco di enumerazione e partizione di collezioni di oggetti predisposti in determinate disposizioni va svolto con figure/immagini, parole, sillabe e lettere alfabetiche secondo criteri dati (per la costruzione di collezioni specifiche/insiemi o per la composizione di parole in brevi frasi note, di sillabe e di lettere in parole significanti per i bambini). 

Come si può ben comprendere in questa fase il lavoro di enumerazione, partizione e ordinamento costituisce una premessa formativa non solo all’introduzione del linguaggio matematico ma contestualmente alla composizione e formalizzazione grafica di quello orale naturale, cioè della letto-scrittura.

Tutto questo lavoro dovrà essere affiancato da giochi ritmici, sia corporei (disposizione alternata di maschi e femmine, di bambini con diverse proprietà o in diversi movimenti e posizioni) che manipolativi (predisposizione in successione ordinata di giocattoli, blocchi logici, regoli numerici, …) ed espressivi (con l’uso ritmato di suoni, gesti, parole, segni, …) che conducano a fissare la differenza fra sequenza e ritmo. Seguiranno specifiche attività di organizzazione di collezioni, cioè l’introduzione sistematica ad azioni di raggruppamento, corrispondenza e alla classificazione non solo di proprietà ma anche di percezione di quantità secondo criteri scelti dai bambini o dati come consegna operativa. Arriviamo così al confronto percettivo prima e successivamente attraverso l’azione operativa del rapporto “tanti quanti”, cioè la corrispondenza biunivoca, ai concetti “ne avanzano, sono di più” (maggiore) e “ne mancano, sono di meno” (minore).

Sarà bene a questo punto far distinguere il termine maggiore-minore da “più grande e più piccolo”, “più pesante e meno pesante”, “più esteso e meno esteso”, “più lungo e più corto” ecc., che si riferiscono a confronti non rigidamente ed esplicitamente numerici.

Partendo infatti dai prerequisiti dati dalla subitizzazione[3] naturale (processo diverso dal contare e dallo stimare) e dalle acquisizioni socio-ambientali dei singoli (embodied cognition[4]), attraverso l’organizzazione di collezioni e l’attività di raggruppamento d’insiemi di oggetti e figure s’arriverà ai primi ordinamenti di quantità e, come nel percorso didattico per la letto-scrittura di frasi e parole, alla formulazione delle prime collezioni di etichette/numerali (cioè alla individuazione e rappresentazione grafica dei numeri: dai punti ordinati dei dadi da gioco alle cifre tradizionali).

A questo punto, ma siamo già arrivati alla Scuola Primaria, si apre un lavoro complesso, operativo e linguistico, per la discriminazione e sistemazione dell’aspetto semantico dei numeri/cifre. Occorrerà sviluppare un puntuale lavoro didattico di organizzazione delle esperienze motorie e operative finalizzate a garantire ai bambini un ampio bagaglio metaforico che li porti a distinguere con chiarezza il diverso significato dei numeri:

a)    ordinali (indicanti un carattere di continuità: primo, secondo, …; etichette posizionali complesse: che si usano come nome, come aggettivo, come pronome e come nome proprio);

b)    cardinali (nomi con valore di discretizzazione delle quantità, della numerosità di un insieme: tre, cinque, dieci, …);

c)     distributivi (locuzioni con valore di composizione: a due a due, per tre, …);

d)     frazionari (valore di un rapporto rispetto all’intero, all’unità: metà, mezzo, uno su due, un terzo, …);

e)     moltiplicativi (valore di riproducibilità: doppio, triplo, …);

f)      collettivi (sostantivi con valore di unione: un paio, due coppie, trio, cinquina, decennio, un lustro, …);

g)     identificativi (etichette numerali che consentono di riconoscere, contrassegnare: targhe automobilistiche, numeri telefonici e d’abitazione, …);

h)    simbolici (il 13, il 17 porta fortuna/sfortuna, la trinità, …).

A questo lavoro didattico di discriminazione semantica del medesimo segno in rapporto a contesti differenziati e a obiettivi diversi, si accompagna la costruzione della struttura del numero:

a)    il valore posizionale delle cifre, il meccanismo del cambio decimale e della organizzazione in multibase (innanzitutto da sviluppare a base due per la sua duttilità operativa: pur manipolando un limitato numero di elementi si riesce a strutturare il meccanismo del mutare/cambiare il valore posizionale della rappresentazione, sia essa fatta di palline sull’abaco, delle forme predisposte della scatola multibase, della composizione di cubetti o della rappresentazione grafica e in cifre);

b)    l’organizzazione modulare (cioè ricorsiva, rappresentata a cerchio più che a sequenza ripetuta: vedasi l’orologio, la settimana, le stagioni, …);

c)    il numero come misura (quattro passi, un palmo, sei centimetri, un’ara, otto litri, …)

d)    infine il numero come espressione di  forma (numeri figurati geometrici: quadrati, triangolari, poligonali, oppure caratterizzanti la composizione: tri-foglio, bi-forcazione, quadru-pede, tri-colore, se-mestre, … ).

Nel lavoro di approfondimento della organizzazione multibase risulta interessante rapportare tale struttura alla dimensione geometrica (il punto/l’unità, il segmento/il lungo, la superficie/il quadrato, il volume/il cubo, che si ripetono in una costante sequenza mono-bi-tridimensionale e che ci condurranno al valore esponenziale delle potenze) e al gioco ritmico della “macchina dei numeri” [5],.

Ma siamo andati troppo avanti nel mondo fantastico e giocoso del numero[6]. È un lavoro di conquista che va svolto nella Scuola Primaria e ripreso ed approfondito alla Scuola Media ma che ha la sua base imprescindibile nella Scuola dell’Infanzia[7].

Partendo dalla distinzione tra segno linguistico (significante) e concetto-oggetto simboleggiato (significato) non dobbiamo mai dimenticarci durante l’intero percorso curricolare della scuola di base di mantenere nel nostro lavoro didattico strettamente ancorata la elaborazione sintattica alla semantica, cioè la mente al corpo e al contesto nel loro legame imprescindibile, sapendo che il cervello e il corpo sono evoluti assieme non solo nella storia dell’umanità ma anche nel processo vitale del muoversi, del conoscere e dell’operare di ogni persona. Il percorso didattico va dunque poggiato in tutto il curricolo della scuola di base su una metodologia operativa, di laboratorio[8] che leghi strettamente il fare e il comprendere in un rapporto dialettico e a spirale fra l’indurre dall’esperienza e il dedurre dalla riflessione in un’azione costante di interpretazione, congettura, argomentazione e validazione. Non si tratta di imporre dall’esterno una matematica avulsa dal contesto corporeo e operativo ma di far evolvere l’elaborazione dall’interno del soggetto, posto e stimolato in un appropriato ambiente d’apprendimento. “La formazione del curricolo scolastico non può prescindere dal considerare sia la funzione strumentale, sia quella culturale della matematica: strumento essenziale per una comprensione quantitativa della realtà da un lato, e dall’altro un sapere logicamente coerente e sistematico, caratterizzato da una forte unità culturale.”[9]

Interamente dedicato alla matematica il n. 3 del 2008

MCE Sardegna

Dalla rivista Cooperazione Educativa un articolo di Rinaldo Rizzi (leggi)

Programma dI UN corso d’aggiornamento

sulla didattica della matematica nella scuola di base

Osservazioni di Francesco Paoli del Dipartimento di Scienze Pedagogiche e Filosofiche dell'Università di Cagliari  -  paoli@unica.it

1° - Le trasformazioni in atto, le domande del presente e le incognite del futuro

La sfida culturale, la sfida sociale e la sfida civica del presente; i nuovi orizzonti evolutivi per una scuola pubblica funzionale ad una società democratica: quale ruolo e paradigma?

I bisogni formativi d’oggi e il ruolo della formazione logico-matematica di base.

2° - Dalla pratica del trasmettere e quella del costruire e trasformare

L’emergere delle attitudini nel passaggio dalle conoscenze e abilità alla competenza.

Il senso di una “matematica operativa”.

Le tappe nell’organizzazione cognitiva nel rapporto spazio-tempo.

Gradualità del processo compositivo nella costruzione del numero.

Il concetto di numero nelle sue varie espressioni/articolazioni.

 3° - Attività pratica di laboratorio (adulto) e di riflessione cooperativa

La soggettività interpretativa e la personalizzazione

Dai teoremi in atto al confronto e alla metacognizione

Presentazione dei “materiali didattici strutturati” e attività con il “Laboratorio mobile Matemixer”

Una costruzione dinamica e operativa nella strutturazione del “numero”

Una o più geometrie? La geometria delle trasformazioni

Educazione scientifica e matematizzazione

Operatori:

Rinaldo Rizzi, relatore e animatore dell’attività laboratoriale del corso 

Nino Martino, animatore del laboratorio “Educazione scientifica e matematizzazione”

Per informazioni sul corso: rinrizz@tin.it - tel/fax 070.6848726

MATEMATICA OPERATIVA: UNA PROPOSTA

 PER LA FORMAZIONE DEGLI INSEGNANTI

Francesco Paoli

Dipartimento di Scienze Pedagogiche e Filosofiche

Università di Cagliari

paoli@unica.it

Introduzione

 Il “Laboratorio di matematica operativa” di Mario Miani e Rinaldo Rizzi[1] è un repertorio di materiali strutturati per l’educazione matematica progettato e realizzato sulla base di una chiara ed esplicita premessa metodologica: un apprendimento efficace della matematica da parte del bambino in età scolare (e oltre) è impossibile se non si assume come punto di partenza la dimensione operativa della manipolazione, della sperimentazione concreta, della collocazione dei concetti matematici nel quadro dei problemi pratici e tecnologici che ne hanno determinato la nascita o ne costituiscono l’orizzonte applicativo.

Miani e Rizzi hanno ben illustrato in numerose occasioni (nel volume da me citato, ma anche in articoli, interventi a convegni e soprattutto nei numerosi corsi di formazione e aggiornamento da loro tenuti negli ultimi anni) l’efficacia didattica del loro approccio, del resto ampiamente attestata dalle molteplici esperienze di utilizzo concreto di questa metodologia nelle classi della scuola dell’infanzia, della scuola primaria e della scuola secondaria di primo grado. Non intendo, di conseguenza, aggiungere alcunché a tale dibattito, partendo dall’ipotesi secondo cui l’utilità e la coerenza didattica del “Laboratorio di matematica operativa” sono un dato ormai consolidato e condiviso. In questo articolo vorrei invece prendere in considerazione un diverso uso di questi materiali e delle strategie didattiche che ne hanno ispirato la realizzazione, individuando come oggetto dell’azione didattica non già i bambini, ma gli stessi insegnanti di scuola primaria, in formazione o in servizio.

Perché realizzare un laboratorio di matematica con insegnanti di scuola primaria? E, soprattutto, che tipo di laboratorio è possibile fare e come esso si differenzia dall’ordinaria attività laboratoriale svolta in classe con i bambini? A mio giudizio, le attività che in questo ambito possono essere svolte con un reale profitto formativo sono almeno due:

v     i laboratori di simulazione;

v     i laboratori di formazione.

 I laboratori di simulazione rappresentano forse l’ambito d’impiego più immediato (ma non per questo scontato) della metodologia laboratoriale in questo contesto. Miani e Rizzi, tra l’altro, realizzano spesso laboratori di simulazione nella loro pratica di formazione degli insegnanti. Supponiamo che un formatore voglia illustrare a una platea di insegnanti una proposta didattica, o addirittura un curricolo, che prevede attività di tipo laboratoriale. Può essere senz’altro utile sperimentare la proposta simulando le modalità di svolgimento di una possibile lezione nel corso della quale la proposta stessa venga presentata ai bambini. Nel laboratorio di simulazione, quindi:

 v     il formatore svolge il ruolo dell’insegnante, mentre gli insegnanti svolgono il ruolo dei bambini: più precisamente, il formatore assume nella simulazione quel ruolo di coordinamento che nell’attività in classe sarà chiamato a svolgere l’insegnante, mentre gli insegnanti vengono invitati a impegnarsi in quelle attività di manipolazione e uso dei materiali che in classe saranno riservate ai bambini. Naturalmente ogni insegnante partecipa alla simulazione con il proprio bagaglio di competenze e di esperienze: quindi, pur impersonando un “bambino”, nei momenti di riflessione e socializzazione delle conoscenze parteciperà alla discussione portando il proprio autentico contributo di insegnante.

v     Il sapere matematico in gioco[2] è un sapere già acquisito sia per il formatore, sia per gli insegnanti, perché deve giocoforza riguardare concetti accessibili ai bambini della scuola primaria che gli insegnanti già padroneggiano e trattano quotidianamente nel loro lavoro in classe. Dal punto di vista dell’insegnante, quindi, la conoscenza che viene costruita mediante il laboratorio non riguarda tanto i concetti matematici oggetto dell’attività, quanto la riflessione sui processi di insegnamento-apprendimento che hanno luogo negli allievi.

Il laboratorio di formazione, invece, si pone un obiettivo completamente diverso: presentare agli insegnanti partecipanti dei concetti matematici che non hanno mai incontrato prima e contribuire in tal modo ad arricchire la loro preparazione non tanto e non solo sul piano metodologico, quanto soprattutto sul piano schiettamente disciplinare. Nel laboratorio di formazione, quindi:

v     sia il formatore che gli insegnanti impersonano se stessi;

v     il sapere matematico in gioco è per gli insegnanti un sapere ancora da acquisire e dev’essere fatto proprio mediante un processo significativo di costruzione del sapere medesimo, facendo leva sui meccanismi di invenzione e di scoperta personale, oltre che di cooperazione e di socializzazione delle conoscenze.

Ho avuto modo di usare il “Laboratorio di matematica operativa” di Miani e Rizzi sia in laboratori di simulazione che in laboratori di formazione, destinati sia a insegnanti in formazione che a insegnanti in servizio. Nella fattispecie, gli insegnanti in formazione erano gli studenti dei corsi di didattica della matematica e dei laboratori di logica e matematica da me svolti per il Corso di Laurea in Scienze della Formazione Primaria dell’Università di Cagliari; gli insegnanti in servizio, invece, erano gli studenti iscritti ai corsi speciali (D.M. 85) per il conseguimento dell’abilitazione all’insegnamento nella scuola dell’infanzia e nella scuola primaria. In entrambi i casi, i risultati da me riscontrati sono stati piuttosto incoraggianti. Nel prosieguo dell’articolo vorrei quindi descrivere brevemente la mia esperienza con un laboratorio manipolativo di formazione da me ideato.

La proposta laboratoriale

 Obiettivi: 1) Acquisire un’idea intuitiva della nozione matematica di struttura algebrica, e in particolare del concetto di gruppo. 2) Rafforzare la propria autostima in relazione alla matematica.

Riguardo a questo secondo obiettivo, sono necessarie alcune precisazioni relative alla formazione iniziale degli insegnanti di scuola primaria. Gli studenti del Corso di Laurea in Scienze della Formazione Primaria, in generale, hanno una pessima autostima per quanto riguarda l’apprendimento della matematica: affermano spesso di “non esserci portati”, di “averci litigato da piccoli”, di “non riuscirci proprio”. E’ un atteggiamento ben noto a chi si occupa di ansia della matematica e di fallimento specifico in matematica; è altresì un atteggiamento del tutto disfunzionale in chi avrà, tra i suoi compiti istituzionali, proprio quello di insegnare la matematica ai bambini e rischia di trasmettere loro le proprie ansie, il proprio senso di frustrazione e, in definitiva, una profonda avversione verso la disciplina. Per esperienza personale, uno degli aspetti che più deprimono gli studenti di Scienze della Formazione Primaria è la consapevolezza di dover faticare molto per passare un esame di matematica che è comunque enormemente semplificato rispetto a quello che devono superare i loro coetanei iscritti alle facoltà scientifiche. Si capisce bene, pertanto, quanto possa essere motivante iniziare un’attività quale quella che presenteremo con la frase: “I concetti su cui lavoreremo oggi fanno parte del programma di Algebra svolto dai vostri colleghi del primo anno del Corso di Laurea in Matematica”. La reazione iniziale di spavento farà ben presto luogo a un piacevole senso di sfida: non si è più dei paria che studiano una matematica “for dummies”, ma studenti con uguale dignità rispetto ai coetanei iscritti a Matematica, a Ingegneria, a Biologia o a Economia e Commercio.

Materiali. Le asticelle perforate in legno del “Geomeccano”; chiodini colorati di plastica; lavagna e gesso; un computer collegato a un videoproiettore.

 Durata. Circa due ore.

 Prima fase. La classe viene suddivisa in sei gruppi di lavoro, che lavorano su dei banchi. A ciascun gruppo vengono consegnate tre asticelle di legno di uguale lunghezza e tre chiodini di plastica, di colore verde, bianco e rosso. Se i gruppi sono particolarmente numerosi (se cioè vi sono più di cinque persone per gruppo) e se la disponibilità di materiale lo consente, si possono consegnare un numero maggiore di asticelle e di chiodini.

Ogni gruppo di lavoro viene invitato a costruire con le asticelle assegnate un triangolo equilatero, inserendo i chiodini nelle perforazioni in corrispondenza dei vertici. Il triangolo così ottenuto viene successivamente appoggiato sul piano di lavoro. Il formatore, a questo punto, pone la seguente domanda:

 “In quanti modi potete muovere o spostare il triangolo in modo tale che questo, alla fine, occupi esattamente la stessa regione di spazio che occupava all’inizio?”

 Non ci si aspetti che la consegna venga capita immediatamente; gli studenti manifesteranno più di una perplessità. E’ opportuno precisare (lasciando comunque che siano loro, per primi, a sollevare la questione) che il triangolo può essere anche sollevato dal piano di lavoro, muovendolo liberamente nello spazio; inoltre, fargli occupare la stessa regione di spazio che occupava all’inizio non significa riportarlo nella posizione di partenza: la disposizione dei vertici può cambiare… Gli studenti vengono invitati a partire sempre dalla “posizione della bandiera italiana”, nella quale il vertice verde si trova in basso a sinistra, il vertice bianco si trova in alto e il vertice rosso in basso a destra:

I gruppi iniziano a lavorare e, dopo alcuni minuti, vengono trovate le seguenti soluzioni:

A) La rotazione in senso orario di 120 gradi:

B) La rotazione in senso orario di 240 gradi:

C) La rotazione in senso orario di 360 gradi, che equivale a lasciare fermo il triangolo:

D) Il ribaltamento attorno all’altezza relativa al vertice sinistro:

E) Il ribaltamento attorno all’altezza relativa al vertice in alto:

F) Infine, il ribaltamento attorno all’altezza relativa al vertice destro:

Manipolando i materiali, gli studenti osserveranno che altri tipi di trasformazione, come ad esempio le rotazioni in senso antiorario, producono lo stesso effetto di alcune delle trasformazioni già individuate.

Seconda fase. A questo punto si può porre la seguente domanda:

“Ci possono essere altre trasformazioni del triangolo che producono un effetto (disposizione dei vertici) diverso da quelle che avete già trovato, sempre rispettando la regola che alla fine il triangolo dovrà occupare la stessa regione di spazio che occupava all’inizio?”

Questa domanda ha sempre scatenato un’accesa discussione in classe, dando luogo a proposte interessanti che però violavano la regola iniziale (ad esempio, mettere il triangolo “in piedi”) oppure producevano una disposizione dei vertici già ottenuta (ad esempio, sono state proposte varie combinazioni di rotazioni e ribaltamenti).

In genere, la classe arriva alla fine a una consapevolezza intuitiva del fatto che le trasformazioni prima elencate sono in qualche modo esaustive; può tuttavia non emergere una giustificazione cogente di questo fatto. Allora si può ricorrere alla seguente analogia:

“Immaginate di assistere con un vostro amico a una gara ippica a cui partecipano tre cavalli. Il vostro amico vuole scommettere con voi che riuscirà a prevedere l’ordine di arrivo esatto della gara, a patto che gli concediate sei possibilità di indovinare. Vi conviene accettare la scommessa?”

La discussione successiva punterà a far emergere il fatto che esistono solo 6 permutazioni di un insieme di 3 oggetti (e che quindi la scommessa proposta è una fregatura). Se contrassegniamo i tre cavalli in gara con i numeri 1, 2 e 3 ed elenchiamo tutti i possibili ordini di arrivo della corsa:

123, 132, 213, 231, 312, 321,

gli studenti inizieranno a notare una cosa sorprendente. Sostituendo ai numeri i nomi dei colori, gli ordini di arrivo corrispondono esattamente ai risultati delle sei trasformazioni viste in precedenza (considerando i vertici come ordinati in senso orario a partire da quello in basso a sinistra). Questa constatazione sarà l’occasione per iniziare a riflettere sul fatto che, in matematica, insiemi di oggetti molto diversi tra loro possono presentare la medesima struttura formale. Se dunque non possono esistere ordini di arrivo diversi dai sei sopra elencati, non possono neanche esistere trasformazioni del triangolo equilatero che producano un ordine dei vertici diverso da quelli già osservati.

Le sei trasformazioni costituiscono dunque un elenco completo. Il formatore, a questo punto, potrà iniziare a chiamarle isometrie del triangolo equilatero e darà a ciascuna di esse i seguenti nomi-sigla:

I: trasformazione identica (lascia il triangolo così com’è);

120: rotazione oraria di 120°

240: rotazione oraria di 240°

S: ribaltamento attorno all’altezza relativa al vertice in basso a sinistra;

A: ribaltamento attorno all’altezza relativa al vertice in alto;

D: ribaltamento attorno all’altezza relativa al vertice in basso a destra.

Terza fase. Si invitano gli studenti a provare ad applicare due isometrie una di seguito all’altra; ossia, come si dirà anche, a comporre due isometrie. Inizialmente gli studenti saranno lasciati liberi di manipolare liberamente i materiali, poi si farà l’esempio della composizione del ribaltamento S con la rotazione 120. Si può chiedere:

“Se avessi voluto ottenere lo stesso effetto applicando una sola isometria, quale avrei dovuto applicare?”

Aiutandosi con gli appunti presi, gli studenti osservano che l’isometria D produce, da sola, la stessa disposizione dei vertici ottenuta applicando prima la S e poi la 120. Si dirà allora che la composizione tra S e 120 è proprio D; in simboli:

S ° 120 = D.

Quarta fase. A questo punto si invita la classe a trovare i risultati di tutte le possibili composizioni di isometrie, prese a due per volta. Si tratta in altri termini di riempire la seguente tabella, che può essere proiettata su uno schermo col videoproiettore:

dove le isometrie della prima colonna sono quelle che vengono applicate per prime, mentre quelle della prima riga sono quelle che vengono applicate per seconde. Nella casella contrassegnata con una “x”, per esempio, gli studenti dovranno scrivere il risultato che si ottiene applicando prima la A e poi la 240.

Ciascuno dei sei gruppi di lavoro deve riempire una riga della tabella; i gruppi lavorano quindi in parallelo. Si tenga presente che inizialmente alcuni gruppi potranno fraintendere la consegna, scrivendo in ciascuna casella non il nome di un’isometria, ma il disegno di un triangolo oppure un ordinamento dei tre vertici. Si dovrà dunque porre molta cura nel sottolineare che ciascuna casella dovrà essere riempita col nome di quell’isometria che, da sola, produce lo stesso effetto della composizione delle due isometrie considerate. Per esempio (provare per credere), applicando prima la A e poi la 240 si ottiene esattamente la stessa disposizione dei vertici che si sarebbe ottenuta applicando solo la D. Gli studenti possono verificare tutto ciò in concreto, manipolando i triangoli costruiti col geomeccano.

Alla fine, si otterrà la seguente tabella:

Se i gruppi di lavoro hanno fatto degli errori è bene non sottolinearli. Tuttavia, le riflessioni delle fasi successive devono essere svolte su una tabella correttamente compilata al computer, che il formatore dovrà essersi preparata in precedenza.

Quinta fase. Gli studenti vengono ora invitati a fare le proprie osservazioni sulla tabella così riempita. Quasi sicuramente, il gruppo di lavoro che ha compilato la riga della I osserverà che applicare prima la I e poi un’altra isometria equivale ad applicare direttamente la seconda isometria; qualcun altro potrà inoltre notare che lo stesso vale se la I viene applicata per seconda. Il formatore potrà quindi formalizzare questo concetto dicendo che la I si comporta come un elemento neutro rispetto alla composizione di isometrie: se T è una qualsiasi isometria,

T ° I = I ° T = T.

Si osserverà inoltre che in ogni riga della tabella la I compare una e una sola volta. Ciò vuol dire che, presa una qualsiasi isometria, è possibile comporla con un’unica isometria (non necessariamente diversa!) che “annulla” l’effetto della precedente, ovverosia riporta il triangolo alla configurazione di partenza. In simboli: per ogni T esiste un’unica U tale che

T ° U = I.

La U verrà chiamata l’isometria inversa della T. Si dirà inoltre, chiedendo agli studenti di prendere l’affermazione per buona (non c’è il tempo per effettuare un controllo completo, oltretutto lunghissimo e noioso!), che la composizione di isometrie gode della proprietà associativa.

A questo punto, si può rivolgere alla classe la seguente domanda:

“La composizione di isometrie gode della proprietà associativa e ammette un elemento neutro; inoltre ogni isometria è invertibile, ossia ammette una trasformazione inversa. Queste proprietà vi ricordano qualcosa?”

Quando ho posto la domanda ai miei studenti di Scienze della Formazione Primaria, era chiaro dove volessi andare a parare. Nei corsi di matematica di base avevamo studiato il sistema numerico degli interi e le sue proprietà; in particolare, avevamo visto che l’addizione di numeri interi gode della proprietà associativa, ha un elemento neutro (lo 0) e ha la proprietà dell’inverso (per ogni intero ne esiste un altro, il suo inverso, che sommato al primo dà come risultato l’elemento neutro dell’addizione, ovvero lo 0). Avevamo inoltre studiato i vettori del piano e avevamo osservato che anche la somma vettoriale ha queste proprietà. Gli studenti hanno subito evidenziato tali analogie. Anche gli insegnanti in servizio dei corsi abilitanti speciali hanno fatto appello alle loro conoscenze matematiche e sono giunti alla medesima conclusione[3].

A questo punto, l’obiettivo principale del laboratorio può dirsi raggiunto. Gli studenti-insegnanti hanno verificato che insiemi di oggetti molto diversi tra loro possono condividere la stessa struttura astratta. Non resta altro da fare che dare un nome ufficiale a tale struttura: si dirà allora che un gruppo non è altro che un insieme di oggetti su cui è definita un’operazione che gode della proprietà associativa, ammette un elemento neutro ed è tale che ogni elemento dell’insieme è invertibile. Se questa definizione fosse data in modo formale sin dall’inizio, probabilmente non sarebbe capita oppure sarebbe subito dimenticata. Lavorando coi materiali, invece, gli studenti possono renderla il punto di arrivo di una costruzione personale e di un processo di socializzazione della scoperta.

Sesta fase. Per chi non è esperto di matematica può essere difficile cogliere al volo la differenza tra due strutture isomorfe, ossia (detto in modo un po’ grossolano) matematicamente indistinguibili, e due strutture che appartengono alla stessa classe ma non sono isomorfe. Ad esempio, il gruppo delle isometrie del triangolo equilatero e il gruppo delle permutazioni di un insieme di tre oggetti sono tra loro isomorfi: posso associare biunivocamente[4] a ciascuna isometria una permutazione in maniera tale che alla composizione delle isometrie U e T venga associata la composizione della permutazione associata alla U e della permutazione associata alla T. In parole povere, i due gruppi differiscono solo per la “natura” degli oggetti che contengono, non per il loro comportamento matematico. Invece, il gruppo delle isometrie di un triangolo equilatero e il gruppo degli interi appartengono alla stessa classe di strutture (i gruppi), ma non sono isomorfi. Innanzitutto, infatti, i numeri interi sono molti più di 6. Inoltre, l’operazione di composizione e l’operazione di addizione hanno sì molte proprietà in comune, ma vi sono anche proprietà che le differenziano. Questo, tuttavia, è meglio farlo scoprire direttamente agli studenti. Una volta data la definizione di gruppo, quindi, si possono instradare i partecipanti al laboratorio con la seguente domanda:

“C’è qualche proprietà di cui gode l’addizione di numeri interi ma non la composizione di isometrie?”

Questo “aiutino” mette gli studenti sulla pista giusta: se, come abbiamo visto, la proprietà associativa ce l’hanno tutte e due, un buon candidato per rispondere alla domanda potrebbe essere la proprietà commutativa. L’addizione di numeri interi ne gode (cambiando l’ordine degli addendi la somma non cambia!); come stanno le cose con la composizione di isometrie? Un rapido sguardo alla tabella suggerisce un controesempio: S ° 120 = D, mentre 120 ° S = A. Il gruppo delle isometrie del triangolo equilatero, si dirà allora, è – a differenza del gruppo degli interi – un gruppo non commutativo (o non abeliano).

Non ci si meravigli di obiezioni del genere: “Ma 120 ° 240 = I, e anche 240 ° 120 = I, quindi in questo caso la proprietà commutativa vale!”. I miei allievi sanno bene che uno dei miei “martellamenti” più insistenti a lezione riguarda il fatto, purtroppo molto difficile da capire per chi non è avvezzo al modo di procedere matematico, che le proprietà universali[5] (e in questa categoria rientrano quasi tutte le più importanti proprietà delle operazioni e delle relazioni matematiche) possono essere smentite da un singolo controesempio, ma non possono essere verificate trovando un singolo esempio che le conferma. I miei studenti, ahiloro!, passano lunghe settimane a esercitarsi su questo concetto; a mio avviso, infatti, una volta che si è capito questo si è fatto un importante passo avanti per comprendere come funziona la matematica.

 L’unità didattica di tipo laboratoriale può essere conclusa suggerendo qualche lettura di approfondimento per quegli studenti, ci auguriamo numerosi, che sono stati incuriositi dall’idea di gruppo e dalla sua ubiquità in matematica[6].

Ringraziamenti. Un sentito grazie a Monica Alberti per i suoi preziosi commenti a una prima bozza di questo articolo.