Verso una matematica umana

Abstract

 

Partire dal rapporto del bambino/ragazzo con la sua realtà

Chiediamoci perché è tanto diffusa fra gli adolescenti e fra molti adulti, in particolare di genere femminile, una estraneità se non un senso di paura ed un atteggiamento di ansia  verso la disciplina matematica.
Eppure il bambino piccolo dall’Asilo Nido fin ai primissimi approcci alla Scuola Primaria si presenta curioso, attivo, interessato a dare ordine al suo rapporto con lo spazio e con gli oggetti che lo circondano, a risolvere i sui piccoli (per noi) problemi matematici, a cercare soluzioni inventandosi nuovi percorsi e modalità risolutive. Poi rapidamente questo atteggiamento si perde.
Dunque non è la strumentalità logica di questo linguaggio naturale a rappresentare un ostacolo ma è il modo di porgerlo, l’arretratezza di una impostazione didattica assiomatica e formalistica dell’insegnamento scolastico che allontana il soggetto dal mondo naturale imponendogli segni spesso insignificanti, procedure astratte, percorsi univoci e operazioni formali lontane dal suo modo di approcciarsi al vissuto interpretativo e operativo.
L’insegnamento della matematica a scuola risulta ancora come disciplina separata dalla psicologia, dalle neuroscienze cognitive. Si presenta a se stante. Predefinita. Rigida. Data. Devi solo ascoltare, ripetere e applicare. Tu non c’entri. Il tuo vissuto, il tuo modo di osservare e di descrivere la realtà riguarda semmai l’ambito linguistico non la “disciplina” matematica.
In verità è proprio questo distacco, questa separazione culturale che rende questa disciplina lontana ed estranea, difficile da assumere consapevolmente e con piacere per il discente, tale da non far percepire il suo potenziale per la crescita formativa.
Va dunque rovesciato l’approccio metodologico didattico: occorre partire dal bambino intero per favorirne attraverso stimoli adeguati la sua costruzione e progressione logico matematica e non viceversa. Occorre passare dall’insegnamento trasmissivo centrato sulla materia alla comprensione da parte docente di come il bambino/ragazzino agisce e pensa, per sollecitarne interrogativi (anziché spegnerli) e promuovere consapevolezze intorno al personale modo di organizzare l’azione e l’esperienza, di porla in relazione cognitiva dentro di sé e con gli altri in un rapporto dinamico fra le personali congetture e credenze (teoremi in atto ) e la conoscenza umana.

 

Il corpo strumento fondante

Il bambino/a impara a crescere in quanto si rende consapevole dell’effetto delle proprie azioni sulla realtà. Tale consapevolezza lo spinge a nuovi bisogni, a percepire la forza che acquisisce progredendo nelle sue possibilità esplorative e nella strutturazione del suo potere cognitivo reso sempre più robusto e complesso. Gli dà coscienza di sé e con essa conserva curiosità e pulsa di rinnovata energia.
Ne deriva la discriminante necessità di partire dal corpo durante l’intera fascia dell’infanzia per assicurarne una strutturazione psicomotoria e per la maturazione del suo rapporto attivo con gli oggetti insieme alla sua sicurezza nello spazio. La topologia risulta essere il primo terreno sul quale si deve distendere l’intervento didattico promuovendo, tramite l’azione cinestesica, l’evoluzione neurologica. Attraverso lo sviluppo successivo della capacità di differenziazione, di discriminazione e di posizionamento si giunge alla capacità di porre in relazione non solo riferimenti statici ma corpi in movimento. Seguirà l’acquisizione delle relazioni logiche di conservazione, di classificazione e di seriazione. Si perverrà così con pazienza al rapporto fra percorso e durata, fra spazio ed energia immessa/consumata e all’idea di spostamento, di cambiamento e di trasformazione, cioè alle premesse per una maturazione dell’idea di tempo e alle teorie in atto, personali e di gruppo, di “unità di riferimento/misura” vissute, certamente relative ma significanti.
Il soggetto arriva a scuola con la sua capacità naturale di subitizzare (cioè di cogliere istantaneamente una quantità numerica piccola: la numerosità, quale unica proprietà di un insieme di elementi), così come succede per l’abilità di percezione numerica di molti animali senza che prima vi sia stato un addestramento, in quanto patrimonio biologicamente fondato. Ed è da questa potenzialità innata del cervello che bisogna partire, essa è il fulcro sul quale poggiare i successivi sviluppi. Occorre avere piena consapevolezza che corpo e cervello sono nella storia umana e in quella di ogni singolo individuo (filogenesi e ontogenesi) evoluti insieme in un concorso reciproco, fatto di bisogni di movimento, di sensazioni e azioni, di emozioni, sentimenti e creazioni.
L’intervento didattico deve perciò tener fermo questo inscindibile nesso, corpo-cervello, per poter interpretare lo stato della progressione e per poter intervenire con proposte adeguate, per sollecitare nuove strategie e offrire stimoli prossimali all’attività cinestesica, alla costruzione cognitiva.
“L’aritmetica di base impiega le seguenti capacità: subitizzare, percepire le relazioni aritmetiche semplici, stimare la numerosità con un’approssimazione raffinata (per raggruppamenti più grandi), e utilizzare simboli, calcolare e memorizzare tabelle corte”.
È indispensabile partire dal pensiero inconscio del soggetto, cioè dalla comprensione automatica, immediata, implicita nell’azione per lavorarci sopra, partendo dal saper cogliere gli oggetti, dall’agire  e costruire con essi, dal porli a confronto classificandoli e organizzandoli, dall’operare con obiettivi definiti, espliciti. Tutto questo richiede lo sviluppo permanente di una “connessione” in un crescere a spirale fra l’azione concreta e il pensiero. In definitiva occorre avere presente che questo nesso è assicurato dalla costante elaborazione di “metafore concettuali” nella proiezione del ragionamento sensomotorio (cioè fisico e corporeo) nel ragionamento astratto. Ogni teorema cognitivo in atto del singolo soggetto, giusto o approssimato che sia, è il frutto e richiama esperienze, immagini vissute, che ne garantiscono la connettività personalizzata fra semantica/significato e sintassi/regola. L’azione del docente sta nel porla a confronto con nuove situazioni corporee, materiali, operative in nuovi contesti di socializzazione per metterne alla prova la sua validazione, per promuovere consapevolezza, condizione essenziale per poter sollecitare e proporre nuovi interrogativi, nuove e diverse operazioni e rielaborazioni.

 

Lo spazio strumento condizionatore

Per una tale pratica didattica risulta ovvia l’inadeguatezza di un’aula rigidamente strutturata, immobile nella articolazione/disposizione dei suoi arredi, limitata agli strumenti/sussidi dei libri di testo, alle dispense e alle fotocopie, uguali per tutti. Occorre ben altro. Uno spazio flessibile adattato alle contingenze operative del lavoro (singolo, di coppia, di gruppo, collettivo e trasmissivo) e dei corpi “vivi” che si muovono in organizzata autonomia, che agiscono nel concorde rispetto delle regole convenute e delle consegne operative. Una complessità di strumentazione che offra opportunità di manipolazione, di costruzione, di scambio, di validazione. All’alunno, già fortemente condizionato e fisicamente deprivato dalla società del virtuale, è necessario garantire spazi di socializzazione con i coetanei tramite lavori in coppia e di gruppo, l’attivazione di tecniche di cooperazione educativa e per questo la disponibilità di strumenti strutturati e non, che richiedano un coinvolgimento operativo corporeo, che gli offrano l’opportunità della verifica diretta e con essa l’affinamento progressivo del rapporto fra spazio e tempo, fra pensare e fare.
Da questi presupposti pedagogici è nata l’esperienza MCE degli anni 60 del gruppo “matematica moderna” e dall’87 quella attuale del gruppo Materiali e Tecniche di Cooperazione Educativa e della strumentazione didattica del “laboratorio mobile Matemixer”.
Concorrere a costruire nell’allievo la strumentazione cognitiva per l’ambito logico-matematico (aritmetica e geometria di base) significa avere chiara la necessità di un costante rapporto metaforico fra l’uso degli strumenti materiali (dal corpo agli oggetti) e la formazione di quelli simbolici. Per questo lavoro di organizzazione e rappresentazione di percorsi è fondamentale la documentazione, della quale, non solo lo spazio aula-pareti deve costituire il testimone e la memoria visiva. Anche gli strumenti tecnologici infatti offrono rapide possibilità di documentazione dell’operato del bambino consentendone il riutilizzo successivo per riflessioni, confronti, nuove riproposizioni.
Un’ulteriore riflessione meriterebbe inoltre il problema del rapporto del variare del significato degli strumenti e dell’oggetto rispetto alle diversità del contesto operativo e simbolico. Adeguate consegne per  l’uso di semplici cubetti colorati consentono potenzialità  ampie e diverse a seconda del contesto cognitivo e simbolico.

 

Vediamo alcuni esempi

Un’idea base che l’uomo, quello primitivo e insieme quello moderno a partire dal bambino, si trova a doversi dare per muoversi nello spazio, nella relazione sociale e nel tempo è costituita dall’idea di “confine”. Su quest’idea un lavoro necessario da sviluppare in un progressivo approfondimento nel tempo della crescita può seguire possibilmente la seguente traccia:

1. il confine come demarcazione di un contenitore di oggetti, di un insieme di corpi;
2. il confine come delimitazione di uno spazio chiuso, topologico;
3. il confine come ambito concreto e ideale di inclusione (dentro), di esclusione (fuori) e d’intersezione (fra);
4. il confine come linea, segnale di frontiera di un territorio, segno margine di una possibilità, di un comportamento;
5. il confine come limite inferiore, superiore, sottostante, estremo di una praticabilità, di una misura;
6. il confine come riferimento estremo, unità di misura di una possibilità di percorso, d’intervento, d’azione civica e legale, di atteggiamento morale.

Nella distinzione fra questi diversi approcci al concetto di confine andrebbe poi sviluppata la riflessione sulle rispettive differenze e analogie fra confine materiale, confine simbolico e confine psicologico per le sue implicazioni nell’intervento educativo intorno alla riflessione sulla relazione.
Un altro nodo concettuale che ha bloccato per migliaia di anni l’umanità in occidente fin alle porte della modernità è il concetto di “zero”.
Didatticamente la promozione di tale idea può esser resa chiara e solida a partire dall’infanzia attraverso una molteplicità di esperienze da realizzare in diversi contesti/sfondi integratori che ne approfondiscano l’entità. Vediamo una traccia di percorso:

1. lo zero inteso come contenitore, collezione, insieme vuoto di oggetti;
2. lo zero come un nulla, un vuoto di memoria, di ricordi, di emozioni;
3. lo zero come costruzione, azione, presenza assente/mancante di oggetti/azioni, assenza di resto in un’operazione sia materiale che contabile;
4. lo zero come riferimento, punto di inizio di una linea/misura;
5. lo zero come punto, posizione d’osservazione (il fuoco) rispetto ad un panorama, ad un angolo/proiezione;
6. lo zero come origine/partenza di un percorso, di una traccia, di un moto;
7. lo zero come punto di incrocio degli assi (cartesiani), dei diametri del cerchio (il perno di una ruota);
8. lo zero come assenza di unità associate ad un determinato valore;
9. lo zero come fulcro di una leva, di una bilancia, di una ruota.

Altro tema di non sempre facile comprensione può essere l’idea della “metà” ed i suoi sviluppi.
Vediamo anche per questo obiettivo un possibile percorso d’intervento didattico nella costruzione del rapporto metaforico fondante fra concreto ed astratto:

1. la metà come collezione di oggetti e corrispondenza fra tanti quanti;
2. la metà come operazione su un insieme di oggetti per trovare approssimativamente una separazione equipotente/equivalente;
3. la metà come operazione su un piano/foglio della sua divisione/piegatura in due parti equivalenti, simmetriche ma anche di un oggetto, di in frutto, di una foglia, di una conchiglia  con un asse di simmetria centrale;
4. la metà come costruzione su una linea della divisione in due parti uguali e l’individuazione del punto medio;
5. come costruzione progressiva della metà in un intero (un piano chiuso o un solido);
6. la metà di una unità di misura di tempo (ora, giornata, minuto)

 
Da queste premesse poi, attraverso successivi lavori di metaforizzazione nel rapporto fra dominio sorgente e dominio obiettivo, partendo dell’idea di metà si arriva al concetto della frazione 1: 2 cioè ½ e così via ripetendo l’operazione si giungerà successivamente al primo concetto di frazione (1/2; ½:2=¼; ¼:2=1/8 …).
Muovendo sempre da queste basi si affronterà l’analisi del rapporto fra zero e uno a partire dalla manipolazione/operazione sugli oggetti per giungere alla operazione sulla linea dei numeri fra il punto d’inizio, lo zero, e il punto dell’intero (cioè della prima unità, l’uno) per costruire un’articolata idea di frazione e quindi del ruolo dell’unità di frazione nella operazione con interi.
È solo partendo da questo paziente lavoro che i bambini potranno capire perché la moltiplicazione non dà sempre un prodotto più alto del moltiplicando e una divisione dà sempre un quoziente più piccolo del divisore.
Anche in questo caso viene spontaneo il raccordo fra la costruzione del concetto matematico della metà e le varie connessioni con l’uso linguistico estensivo di tale idea base: l’appartamento di mezzo, a metà giornata e della festa, la mezza luna, nel mezzo del guado e del temporale, nel mezzo del percorso della vita, a mezz’aria, a mezzo servizio, è/ha fatto una mezza figura, mezzacartuccia, fare il/essere mezzo morto, a mezza voce, mezza fortuna, sospeso a mezz’aria … Un tale lavoro consente di far riflettere, distinguere e analizzare l’uso astratto o concreto del termine, il suo riferimento all’intero figurato o meno, allo strumento che “dimezza” l’energia da immettere/riservare.

 

La trasversalità cognitiva

La potenzialità cognitiva trasversale di questo tipo d’impostazione didattica, nella quale tra l’altro il confine fra matematica, fisica e lingua si fa esile, è evidente. Essa richiede una costante attenzione verso il modo di pensare logico naturale del soggetto, esige una impostazione ‘umana’ non solo sul piano socio-relazionale ma su quello psico-cognitivo. Non più imposta dall’esterno ma lievitata nel rapporto fra il soggetto e il suo mondo. La conoscenza infatti fermenta come co-costruzione/conquista e non come accatastamento, accumulazione passiva.
Un’azione didattica moderna ed efficace non può che partire dall’esperienza del soggetto che apprende, rispettandone e favorendone la connessione inferenziale che è dominata dal meccanismo neuronale, il quale attraverso le metafore concettuali passa dal concreto all’astratto e via via nel processo di metaforizzazione dal dominio concettuale sorgente al dominio concettuale obiettivo in una concettualizzazione e percorso di formalizzazione personalmente conquistato.
Questo procedere inferenziale ha bisogno ovviamente di poggiare su basi solide, sulla molteplicità di esperienze vive che la scuola, quale luogo privilegiato di socializzazione fra coetanei e di apprendimento professionalmente organizzato,  deve garantire. Non può che essere l’esito di una co-costruzione di un edificio cognitivo che risulta tanto più solido quanto più le sue basi sono fondate su concrete esperienze di vita e sul rapporto interattivo fra testa e corpo. Ciò in coerenza con un percorso di elaborazione logica matematica di base che parte da un apprendimento naturale di tipo manipolativo e percettivo, di percorre attraverso un itinerario tatonnement (a sonda, per tentativi e selezione d’errori) e si verifica attraverso una applicazione operativa concreta per la validazione dei processi di generalizzazione e di formalizzazione.

Rinaldo Rizzi

 

Cagliari, 1 settembre 2007.

 

MCE Sardegna webmaster Nino Martino