Questo articolo intende offrire un commento e una guida alla lettura delle nuove Indicazioni nazionali, dal punto di vista della Matematica.
Innanzitutto annotiamo che nelle Indicazioni per la Scuola dell’Infanzia lo spazio riservato alla Matematica risulta a nostro avviso inadeguato rispetto al resto del documento e a quanto era previsto nei Nuovi Orientamenti dell’attività educativa del D.M. del 3.06.1991.
Per la Scuola Primaria e per la Secondaria di Primo Grado alla Matematica è dedicata una specifica parte ma fuori da tale parte, la parola “matematica” non compare mai, anche se vi sono diversi luoghi nei quali una maggiore specifica attenzione per la Matematica sarebbe stata naturale e avrebbe dato un’importante indicazione per la scuola italiana. Ad esempio, già nella prima pagina della parte generale “Cultura, Scuola Persona”, il giusto richiamo alle diseguali relazioni di studenti e insegnanti con gli strumenti informatici, ed agli ostacoli che questo fenomeno pone all’esercizio della cittadinanza, sarebbe stato più profondo se avesse osservato come questa situazione sia semplicemente il complemento ed il prolungamento della tradizionale situazione di diseguali relazioni con la Matematica. Oppure, nel punto “Per un nuovo umanesimo”, dove si sottolinea l’esigenza di ricomporre i grandi oggetti della conoscenza, non compare fra questi grandi oggetti appunto la Matematica.
Questa assenza ci sembra significativa e ci sembra conseguenza di una insufficiente conoscenza, percezione e apprezzamento della Matematica come costruzione umana e come strumento generale di pensiero e di rappresentazione del Mondo. Nelle Indicazioni troviamo l’obiettivo di elevare tale conoscenza, tale percezione, tale apprezzamento negli allievi della scuola italiana, ma lo stesso obiettivo dovrebbe essere perseguito anche nei riguardi di diversi ambienti della Cultura italiana, della Politica e della Pubblica Amministrazione.
1. La Matematica nella Scuola dell’Infanzia
Osserviamo subito che, rispetto agli Orientamenti del 1991, i due campi relativi alla Matematica e alle scienze, e solo quelli, sono stati accorpati. Se tale accorpamento servisse a sottolineare alcuni aspetti comuni importanti che la Matematica, la Tecnica e le Scienze sperimentali hanno in comune, se parallelamente a questo vi fossero opportuni analoghi accorpamenti di altri campi di esperienza, e se comunque fosse mantenuto un adeguato livello delle indicazioni, non ci sarebbe niente di male. Purtroppo così non pare che sia. Già il nome scelto per tale campo accorpato “La conoscenza del mondo” mostra che non si è compreso il carattere anche linguistico e di “forma del pensiero” che la Matematica specificamente ha, e deve avere consapevolmente nella mente degli insegnanti, già nella primissima fase dello sviluppo. Inoltre, le indicazioni che si trovano per le attività del contare, per l’uso delle notazioni numeriche, per l’esplorazione dello spazio, non ci sembrano sufficienti né chiare. A questo si aggiunga il fatto che il testo delle indicazioni giustappone, spesso nella stessa frase, affermazioni sulla Matematica e affermazioni sulle Scienze, a nostro parere senza chiarire bene al lettore le ragioni sottostanti. Concludiamo sottolineando che la Matematica, come forma del pensiero e come linguaggio, non si esaurisce, neppure nella fascia di età precedente ai sei anni, nell’uso di sistemi di segni numerici o nella percezione di forme spaziali. Ormai onnipresenti nell’uso di giochi elettronici e di strumenti come il telefono cellulare e il computer, sono infatti “spazi virtuali”, grafi, insiemi di oggetti e di simboli con diversi tipi di relazioni e di “strutture”, che sono precisamente Matematica e che riteniamo sarebbe inadeguato considerare parte della “tecnologia” o dell’informatica.
La riduzione e semplificazione della Matematica nelle indicazioni per la scuola dell’infanzia appare dunque grave, e ancora più grave facendo un paragone con analoghi documenti a livello internazionale. Auspichiamo pertanto che i Dirigenti e i Collegi Docenti, anche nella Scuola dellIinfanzia, nonostante tale semplificazione, vogliano mantenere la necessaria attenzione verso l’educazione Matematica e organizzino opportune attività di formazione per i docenti, tenendo conto della ricerca didattica di settore.
2. La Matematica nella Scuola del Primo Ciclo dell’Istruzione
La Matematica è compresa all’interno dell’area “matematico-scientifico-tecnologica”, la
quale complessivamente ha la finalità di dare
strumenti per percepire, interpretare e collegare fra loro fenomeni naturali, concetti e artefatti costruiti dall’uomo, eventi quotidiani. Insieme a questo, ha la finalità di sviluppare le capacità di critica e di giudizio, la consapevolezza che occorre motivare le proprie affermazioni, ... , l’attitudine a comprendere... argomentazioni e punti di vista diversi dai propri. Si afferma inoltre che le conoscenze matematiche-scientifiche e tecnologiche consentono di leggere e valutare le informazioni e di esercitare la cittadinanza attraverso decisioni motivate.
Si tratta di affermazioni importanti e impegnative, che si ritrovano in documenti analoghi prodotti in altri Paesi, le quali pongono agli insegnanti non pochi problemi per la loro concreta realizzazione. Occorre sottolineare ancora due altre affermazioni generali che si trovano enunciate per tutta l’area matematico-scientifico-tecnologica e che, anche se non sono esplicitamente ripetute
nella parte specifica per la Matematica, ne sono parte essenziale.
La prima è l’indicazione di utilizzare in modo sistematico la modalità didattica del laboratorio, inteso sia come luogo fisico, sia come momento in cui l’alunno è attivo, discute e argomenta le proprie scelte, costruisce significati, progetta e sperimenta, impara a raccogliere dati e a confrontarli con i modelli ipotizzati. In questo senso generale il laboratorio non è solamente specifico delle scienze sperimentali, ma è modalità fondamentale dell’apprendimento della Matematica.
La seconda è l’indicazione di ricordare che la Matematica è un prodotto culturale, non è un oggetto statico fuori dal tempo, ha una storia ed è in continua evoluzione, al pari delle altre scienze, delle lettere, delle arti e delle forme di organizzazione sociale.
3. Struttura delle Indicazioni per la Matematica nel Primo ciclo
Le indicazioni per la disciplina Matematica sono costituite da tre parti:
- una presentazionecomplessiva, che descrive finalità generali e indicazioni metodologiche per l’apprendimento e l’insegnamento della Matematica;
- i traguardifinali della scuola primaria e della secondaria di primo grado;
- tre livelli di obiettivi specifici di apprendimento, da conseguire alla fine del terzo anno della scuola primaria, alla fine del quinto anno, alla fine della secondaria di primo grado.
E’ probabile che l’attenzione degli insegnanti tenderà a concentrarsi sugli obiettivi specifici di apprendimento, che possono colpire maggiormente, anche perché più concretamente e facilmente significativi in relazione alla prassi didattica. Si raccomanda invece di dedicare la massima attenzione anche alla presentazione, dove si trovano importanti elementi che occorre avere ben presenti se si vuole essere in grado di leggere e interpretare correttamente proprio gli obiettivi.
4. Presentazione della disciplina: finalità e indicazioni metodologiche.
La presentazione comincia con una frase che combina una affermazione sulla natura della Matematica con una dichiarazione di intenti:
La Matematica ha uno specifico ruolo nello sviluppo della capacità generale di operare e comunicare significati con linguaggi formalizzati e di utilizzare tali linguaggi per rappresentare e costruire modelli di relazioni fra oggetti ed eventi. In particolare, la Matematica dà strumenti per la descrizione scientifica del mondo e per affrontare problemi utili nella vita quoditiana, inoltre contribuisce a sviluppare la capacità di comunicare e discutere, di argomentare in modocorretto, di comprendere i punti di vista e le argomentazioni degli altri.
Tutto il resto delle indicazioni per la Matematica deve essere letto e interpretato tenendo ben presente questa affermazione iniziale, a cominciare dall’affermazione immediatamente successiva sul ruolo cruciale dei problemi (intesi come questioni autentiche e significative) nella pratica Matematica, e quindi nell’apprendimento della Matematica stessa. Dal punto di vista del metodo, le indicazioni specifiche sono assolutamente in sintonia con quanto detto nella parte generale, “ambiente di apprendimento”; in particolare, anche per la Matematica, è importante valorizzare l’esperienza e le conoscenze degli alunni, la scoperta, l’apprendimento collaborativi. L’apprendimento deve avvenire attraverso la pratica (si ricordi l’enunciazione generale già fatta sul laboratorio), la discussione, l’esplorazione, lo sviluppo della riflessione sulla pratica stessa e sul modo in cui si arriva a costruire la conoscenza. Naturalmente, il lavoro sui problemi non deve offuscare il ruolo altrettanto importante che devono mantenere lo sviluppo di abilità procedurali (mentali, scritte, grafiche, con gli strumenti di calcolo), la memorizzazione (ad esempio delle tabelline della moltiplicazione oppure di alcune proprietà e definizioni di oggetti matematici) e della Matematica come costruzione teorica. Ma il ruolo dei problemi (che non sono semplicemente “schede” da fotocopiare, ma “pezzi di mondo” da comprendere), per quanto da tempo sottolineato, non si è ancora fatto spazio a sufficienza nella scuola e ci sembra giusta l’importanza che ad esso è stata data nella presentazione.
Nella presentazione troviamo infine l’indicazione di incoraggiare da subito l’uso consapevole di strumenti di calcolo. Questa affermazione è utile confrontarla con uno degli obiettivi indicati per il calcolo alla fine della Scuola Primaria:
Leggere, scrivere, confrontare numeri decimali ed eseguire le quattro operazioni con sicurezza,valutando l’opportunità di ricorrere al calcolo mentale, scritto o con la calcolatrice a seconda delle situazioni.
Dare stime per il risultato di una operazione e con l’obiettivo corrispondente per la Scuola Media:
Eseguire addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni e confronti tra i numeri conosciuti (numeri naturali, numeri interi, frazioni e numeri decimali), quando possibile a mente oppure utilizzando gli usuali algoritmi scritti, le calcolatrici e i fogli di calcolo e valutando quale strumento può essere più opportuno, a seconda della situazione e degli obiettivi. Dare stime approssimate per il risultato di una operazione, anche per controllare la plausibilità di un calcolo già fatto.
I calcoli che si fanno a scuola, come quelli che capitano nella vita, possono (devono) essere a volte semplici, a volte complessi, a volte molto complessi e occorre, nella scuola come nella vita, saper valutare le risorse disponibili rispetto ai calcoli e rispetto alle esigenze, scegliendo poi le strategie più opportune per fare i calcoli stessi oppure per dare stime approssimate.
Purtroppo la percezione di questa esigenza, e anche la capacità di attuarla, non sempre è chiara ai ragazzi, agli insegnanti e alle famiglie e spesso il calcolo diventa mera, noiosa, procedura, con ben poco valore formativo, quando invece è stato una grande conquista del pensiero umano, e ancora è uno dei terreni su cui si conduce la ricerca scientifica.
I due livelli di obiettivi per il calcolo numerico, riportati appena sopra, sono anche una esemplificazione di un’altra affermazione che si trova nella presentazione, e che ci sembra importante sottolineare:
La costruzione del pensiero matematico è un processo lungo e progressivo nel quale concetti, abilità, competenze e atteggiamenti vengono ritrovati, intrecciati, consolidati e sviluppati a più riprese; è un processo che comporta anche difficoltà linguistiche e che richiede un’acquisizione graduale del linguaggio matematico. Per questo motivo i traguardi per la terza classe della scuola secondaria di primo grado sono presentati come un’evoluzione di quelli per la quinta classe della scuola primaria e gli obiettivi per ciascun livello comprendono in ogni caso anche quelli del livello precedente, naturalmente intesi con un grado maggiore di complessità delle
situazioni considerate e di padronanza da parte dell’alunno.
Come conseguenza generale di tale indicazione, osserviamo che, a nostro parere, ad esempio, l’obiettivo “Conoscere con sicurezza le tabelline della moltiplicazione dei numeri fino a 10”, che si trova indicato per la terza classe della suola primaria, oppure l’obiettivo “Riconoscere figure ruotate, traslate, riflesse” che si trova indicato per la fine della scuola primaria, devono essere considerati anche obiettivi della scuola secondaria di primo grado, anche se non sono esplicitamente ripetuti. Naturalmente, l’evoluzione dei traguardi e degli obiettivi ha aspetti sia di consolidamento, sia di approfondimento, il quale ultimo richiede consapevolezza e simbolizzazione diverse. Ad esempio, per le tabelline si tratterà soprattutto di consolidamento, mentre per le trasformazioni geometriche si tratterà appunto di sviluppo e approfondimento..
5. Temi
Tenuto conto dello spazio disponibile, in questa sede discuteremo principalmente gli “obiettivi di apprendimento” e non ci occuperemo dei “traguardi”.
Gli obiettivi per la Secondaria di Primo Grado sono articolati in quattro temi:
1. Numeri
2. Spazio e figure
3. Relazioni e funzioni
4. Misure, dati e previsioni
Per la terza e la quinta classe della Scuola Primaria, il terzo e quarto tema sono accorpati.
I quattro temi sono essenzialmente gli stessi che sono presenti nella proposta presentata dall’Unione Matematica Italiana [Matematica 2001] e che si trovano nel Decreto legislativo n. 59 del 19 febbraio 2004. Sono inoltre essenzialmente gli stessi che sono utilizzati da altri Paesi [National Curriculum UK] e nel quadro di riferimento dell’indagine OECD PISA [PISA]. Si noti la scelta di utilizzare come titoli dei temi dei nomi di oggetti matematici e non di teorie, e cioè: numeri anziché aritmetica, spazio e figure anziché geometria, relazioni e funzioni anziché algebra, dati e previsioni anziché probabilità e statistica. Questa scelta tende a valorizzare nel primo ciclo gli oggetti con cui gli alunni devono fare esperienza, rispetto alla sistemazione teorica, che peraltro non deve essere tralasciata. Gli stessi gruppi tematici sono utilizzati nella proposta [Matematica 2003 ] per la secondaria di secondo grado e si auspica che le future indicazioni per il biennio dell’obbligo siano in continuità con tale scelta, anche se nel secondo ciclo si dovrebbe maggiormente sottolineare il ruolo della Matematica come costruzione teorica.
- Considerazioni generali sugli obiettivi
Una prima osservazione generale è che gli obiettivi non sono suddivisi su due colonne parallele di conoscenze e abilità, distinguibili dal punto di vista grammaticale come sostantivi e verbi e spesso confuse con sapere e saper fare. Essi sono invece tutti indicati come verbi e sono essenzialmente abilità e competenze, nella cui descrizione sono necessariamente utilizzati concetti, la cui conoscenza è quindi implicitamente richiesta.
Una seconda considerazione è che molti degli obiettivi fanno riferimento alla necessità che le abilità indicate siano collocate in situazioni concrete. Inoltre, non pochi prevedono che l’alunno sappia dare una valutazione consapevole di quando e come utilizzare tali abilità, e di quali strumenti sono più opportuni, a seconda dei contesti e delle finalità che si hanno. Un esempio si è già visto nell’obiettivo relativo al calcolo riportato al punto 3.
Ecco ora altri esempi:
Classificare numeri, figure, oggetti in base a una o più proprietà, utilizzando rappresentazioni opportune, a seconda dei contesti e dei fini. [Relazioni, terza classe primaria]
Riprodurre una figura in base ad una descrizione, utilizzando gli strumenti opportuni (carta a quadretti, riga e compasso, squadre, software di geometria. [Spazio e figure, quinta classe Primaria]
Utilizzare frazioni equivalenti e numeri decimali per denotare uno stesso numero razionale in diversi modi, essendo consapevoli di vantaggi e svantaggi che le diverse rappresentazioni danno a seconda degli obiettivi. [Numeri, Secondaria di primo grado]
Osserviamo che queste abilità e competenze sono in coerenza con le affermazioni sulle finalità e le metodologie che abbiamo visto nella presentazione. Naturalmente la questione di quali specifiche attività e quali materiali di lavoro possono essere più utili in classe e nello studio a casa per sviluppare tali abilità e competenze è tutta da approfondire da parte degli insegnanti. Molte idee e proposte sono già disponibili, ad esempio in [Matematica 2001] e,.per la secondaria di primo grado, nei materiali sviluppati per il progetto m@t.abel, ma occorre certamente molta ricerca ancora.
Una terza osservazione è che molti obiettivi, in coerenza con quanto detto nella presentazione, riguardano la comunicazione e l’argomentazione, ad esempio:
Argomentare sui criteri che sono stati usati per realizzare classificazioni e ordinamenti assegnati.
[Relazioni, terza classe Primaria]
Descrivere figure complesse e costruzioni geometriche al fine di comunicarle ad altri. Riprodurre figure e disegni geometrici in base ad una descrizione e codificazione fatta da altri. [Spazio e figure, Scuola Media]
- Osservazioni su alcuni obiettivi di apprendimento
Commenteremo solo alcuni obiettivi, raccolti in gruppi, mettendo in uno stesso gruppo quelli che riguardano uno stesso argomento e che si trovano in successione verticale nei diversi livelli. In questo modo metteremo in evidenza la gradualità degli obiettivi indicati, legata allo sviluppo cognitivo degli allievi, e vogliamo sottolineare la necessità anche di una impostazione metodologica coerente e graduata.
Per il tema Numeri, ci sembrano significativi gli obiettivi che riguardano il calcolo, di cui si è in parte già parlato nel punto 3. Ai due obiettivi lì riportati aggiungiamo quello che si trova per la terza della scuola Primaria
Eseguire mentalmente semplici operazioni con i numeri naturali e verbalizzare le procedure di calcolo. Leggere, scrivere, confrontare numeri decimali, rappresentarli sulla retta ed eseguire semplici addizioni e sottrazioni, anche con riferimento alle monete o ai risultati di semplici misure [fine terza Primaria]
Riteniamo che questa terna indichi chiaramente una rinnovata importanza attribuita al calcolo mentale (che non coincide con sapere a memoria le tabelline). Tale importanza dipende anche dal ruolo che il calcolo mentale ha per lo sviluppo di strutture cognitive che poi hanno a che fare con la rappresentazione mentale delle procedure e dei concetti algebrici. I tre obiettivi includono anche lo sviluppo della capacità di usare il linguaggio verbale per descrivere le procedure (mentali e pratiche) eseguite dagli alunni, capacità che si collega allo sviluppo della metacognizione e della capacità di “narrare” un simbolo, una formula, una rappresentazione iconica o grafica. Queste cose possono apparire difficili, ma è necessario perseguirle, con un allenamento adeguato, graduale, commisurato alle possibilità degli alunni.
Per il tema Spazio e figure, ci sembra significativo commentare gli obiettivi che riguardano la costruzione di modelli e la rappresentazione di figure tridimensionali, sottolineando il fatto che si parte dallo spazio, poi si lavora nel piano, e poi di nuovo nello spazio, anche utilizzando le tecniche del disegno geometrico, in accordo con gli obiettivi di Tecnica.
Disegnare figure geometriche e costruire modelli materiali anche nello spazio, utilizzando strumenti appropriati [fine terza Primaria]
Costruire e utilizzare modelli materiali nello spazio e nel piano come supporto a una prima capacità di visualizzazione [fine quinta Primaria]
Rappresentare oggetti e figure tridimensionali in vario modo tramite disegni sul piano Visualizzare oggetti tridimensionali a partire da rappresentazioni bidimensionali [fine terza Secondaria primo grado]
Certamente lo sviluppo della capacità di visualizzazione mentale dello spazio e degli oggetti geometrici è importante, così come la capacità di passare dall’oggetto tridimensionale alla sua rappresentazione bidimensionale. Gli alunni usano continuamente immagini bidimensionali che riproducono lo spazio tridimensionale e anche spazi virtuali (ad esempio nell’uso del computer o del telefono cellulare) e spesso non si rendono più conto delle differenze tra oggetti e rappresentazioni. L’uso di modelli concreti e del disegno, e la comunicazione tra gli alunni intorno a questi modelli, dovrebbe essere un modo per favorire la percezione dello spazio, la sua organizzazione secondo canoni consolidati, la capacità di descriverlo in termini proposizionali e, in sintesi, la capacità di “pensare” lo spazio.
Per il tema Relazioni e funzionipresentiamo un gruppo di obiettivi relativi alla rappresentazione di relazioni, funzioni e dati, argomento che ci sembra fornire un significativo esempio di percorso verticale e graduale verso l’astrazione e la simbolizzazione:
Rappresentare relazioni e dati con diagrammi, schemi e tabelle. [fine terza Primaria]
Rappresentare relazioni e dati e, in situazioni significative, utilizzare le rappresentazioni per ricavare informazioni, formulare giudizi e prendere decisioni. Rappresentare problemi con tabelle e grafici che ne esprimano la struttura [fine quinta Primaria]
Usare il piano cartesiano per rappresentare relazioni e funzioni, e per conoscere in particolare le funzioni del tipo del tipo y=ax, y=a/x, y=ax 2 , y=2 n e i loro grafici. Collegare le prime due al concetto di proporzionalità [fine Secondaria di primo grado]
Vogliamo qui osservare che gli esempi precisi di funzioni, con la loro espressione analitica, che sono riportati per la scuola secondaria di primo grado dovrebbero essere intesi come punto di arrivo e di sintesi finale di discussioni concernenti modelli di situazioni e problemi, anche della vita quotidiana (ad esempio: quantità di ingredienti in una ricetta di cucina proporzionali al numero di persone, oppure quantità pro-capite di un certo bene complessivo inversamente proporzionale al numero di beneficiari, interessi bancari, crescita o decremento esponenziale di popolazioni,...) nonché la simbolizzazione di osservazioni relative a grandezze geometriche (ad esempio la relazione fra la lunghezza del lato di un quadrato e la sua area). In particolare, per quanto riguarda la funzione y=2 n , dove l’esponente n si intende che sia un numero naturale ed eventualmente anche un intero negativo, osserviamo che è un argomento non nuovo per la scuola secondaria di primo grado, tradizionalmente presentato come “progressione geometrica”. Qui è invece inteso come “funzione esponenziale sui numeri naturali” e come fondamento del futuro apprendimento dei modelli esponenziali.
Venendo infine al tema Misure, dati e previsioni, presentiamo gli obiettivi legati allo
sviluppo del concetto di probabilità.
In situazioni concrete, di una coppia di eventi intuire e cominciare ad argomentare qual è il più probabile, dando una prima quantificazione, oppure riconoscere se si tratta di eventi ugualmente probabili (fine quinta)
In semplici situazioni aleatorie, individuare gli eventi elementari, discutere i modi per assegnare ad essi una probabilità, calcolare la probabilità di qualche evento, decomponendolo in eventi elementari disgiunti. Riconoscere coppie di eventi complementari, incompatibili, indipendenti. (fine terza della Scuola Media)
Facciamo notare come il primo obiettivo relativo alla probabilità appaia solo alla fine della quinta, in riferimento allo sviluppo cognitivo e alle possibilità di apprendimento degli alunni.
Per motivi di spazio non elenchiamo obiettivi sulla misura, ma ci teniamo a mettere in evidenza come questi siano assolutamente in connessione con quanto espresso nella parte che rilevanza che più volte viene data alla capacità di stimare misure di varie grandezze, e mettiamo in evidenza, ancora una volta, che il fatto che non siano presenti obiettivi relativi alla misura alla fine della secondaria di primo grado, non significa che non si debbano dedicare tempo ed energie alla misura in questa fascia di età, ma che questo argomento, trasversale e legato ad altre attività, deve essere sviluppato con un processo di consolidamento e approfondimento degli obiettivi indicati per i livelli precedenti.
Bibliografia
[Matematica 2001] La Matematica per il cittadino. Attività e prove di verifica per un nuovo
curricolo di matematica. Scuola primaria e scuola secondaria di primo
grado.
[Matematica 2003] Matematica 2003 - La Matematica per il cittadino. Attività e prove di
verifica per un nuovo curricolo di matematica. Primi quattro anni del
ciclo secondario.
[m@t.abel] Progetto m@t.abel
http://www.pubblica.istruzione.it/docenti/allegati/apprendimenti_base_matematica.pdf
[National Curriculum UK] UK National Curriculum Online – Mathematics
http://www.nc.uk.net/webdav/harmonise?Page/@id=6004&Subject/@id=22
[PISA] Valutazione dei quindicenni. Quadro di riferimento: conoscenze e abilità in matematica, lettura, scienze e problem solving
http://www.invalsi.it/ric-int/Pisa2006/sito/pagine/documentazione.htm
[MCE] Matematica Operativa – Dalla costruzione del numero agli orizzonti transdisciplinari (vol. 1°), Geometrie e attrezzi didattici per fare laboratorio (vol. 2°), Ed. Junior, Bergamo, 2005.
http://www.mce-fimem.it/sardegna/educazione scientifica
AA.VV., La matematica dalla scuola materna alla maturità, Pitagora Editrice, Bologna, 1999.
Gérard Vergnaud, Il bambino, la matematica, la realtà, Armando Editore, Roma, 1994.
Bruno D’Amore (a cura), Continuità e scuola (dalla scuola dell’infanzia alla secondaria superiore), vol. 3° - La Matematica, Ed. Junior, Bergamo, 1999.