Intervista agli autori di “MATEMATICA OPERATIVA”
Mario Miani e Rinaldo Rizzi
Quali sono i contenuti concreti della proposta di “Matematica operativa”?
Illustriamo e proponiamo tecniche, strumenti e materiali che abbiamo COSTRUITO e SPERIMENTATO con e per i bambini nell’arco di circa un ventennio sull’onda della ricerca-azione della “pedagogia Freinet”: quindi sono l’esito non di quello che si “dovrebbe” fare o si vorrebbe che altri facessero, ma di ciò che è stato fatto in classe e in laboratorio. La proposta di laboratorio operativo di matematica è stata via via arricchita attraverso la pratica didattica e successivamente ulteriormente messa a confronto con i colleghi della scuola di base in tanti corsi di aggiornamento, svolti in varie regioni.
I materiali didattici che proponete come sono stati realizzati, con che criterio?
È necessario chiarire che, praticamente senza eccezioni, per tutti i modelli e gli strumenti realizzati c’è stata la partecipazione degli allievi – ovviamente a livelli diversi a seconda dei casi – sia nella progettazione che in certa parte nella realizzazione. Ognuno degli oggetti è inserito in un “percorso operativo” graduale e quasi senza eccezioni si propongono come veri e propri attrezzi a misura di bambino: una sorta di filtri operativi per favorire il difficile passaggio tra manipolazione e apprendimento cinestesico – formalizzazione e concettualizzazione. Un percorso che abbiamo puntualmente cercato di motivare e descrivere nella pubblicazione omonima.
In quali momenti vengono utilizzati gli attrezzi didattici strutturati che presentate?
Certamente, fanno parte integrante delle tecniche del laboratorio, ispirate al pensiero e all’opera di Célestin Freinet, di Bruno Ciari e alla storia della ricerca MCE ; ne costituiscono il supporto concreto. Esistono poi alcuni aspetti non secondari che abbiamo cercato di evidenziare: la continuità (molti oggetti sono fruibili a diversi livelli, dalla Scuola dell’Infanzia alla Secondaria di primo grado); l’affettività (dovuta allo speciale rapporto vissuto dal bambino con i “suoi” attrezzi, che gli sono utili per provare ad imparare, per verificare); il fatto di NON essere strumenti adulti (l’uso di un goniometro, per esempio, presuppone che si sappia già “misurare gli angoli” ed è quindi inutile sul piano didattico); la concretezza (il rapportarsi costantemente con le origini pratiche della disciplina e con i “processi naturali” dell’apprendimento); la trasversalità (ogni attività laboratoriale al fondo è per sua essenza transdisciplinare).
Qual è il ruolo dell’insegnate e quali competenze richiede l’impostazione di un tale lavoro?
Freinet era contrario ad un uso eccessivo della parola da parte del maestro e noi siamo perfettamente d’accordo con lui: proprio perché i veri “attori”, quelli che devono esprimersi per crescere sono gli allievi. Il ruolo dell’insegnante – che utilizza il laboratorio di matematica per attivare l’apprendimento logico-matematico in stretto collegamento con le altre discipline – è del tutto diverso da quello tradizionale del semplice trasmettere, far fare esercizi ed interrogare, in quanto richiede:
- diverse competenze ed abilità (i suoi utensili non sono più unicamente gesso-lavagna-penna con il supporto-guida ed insieme eserciziario rappresentato dal libro di testo),
- diversi modo di rapportarsi con l’ambito disciplinare (la matematica esce dal suo astratto isolamento assiomatico per diventare strumento di ricerca polifunzionale),
- diverso rapporto all’interno dell’équipe docente (la collaborazione e l’interazione reciproca diventa indispensabile per perseguire un apprendimento unitario, fondato sulla logica che è apparato cognitivo trasversale delle discipline),
- diverso modo di interagire con gli allievi (non è più trasmettitore di contenuti pre-confezionati in un curricolo rigidamentee sequenziale da somministrare con metodi studiati a tavolino e che presuppongono di rimanervi seduto quando si insegna, ma ideatore di esperienze effettive e redattore di “unità di apprendimento”, preparatore di ambienti opportunamente predisposti e strutturati, coordinatore dei molteplici aspetti di un lavoro che non viene svolto prevalentemente sui libri e quaderni, esperto sulle tecniche elementari per la lavorazione dei principali materiali che possono essere utilizzati).
Tutti gli oggetti manufatti contengono, entro le loro strutture materiali, un’idea matematica: si tratta di estrarla/astrarla. La scuola è chiama a dare tale capacità di lettura e di intervento sulla realtà, proiettando così le nuove generazioni verso una logica rigenerativa e trasformativa.
Quale metodo, quali finalità, quali elementi educativi, quali valori stanno alla base della vostra proposta?
Il metodo è quello della ricerca-azione cooperativa, che incorpora “di per sé” elementi etici ed educativi fondantisi sull’ascolto reciproco e sulla collaborazione come necessità operativa.
Il fine è quello di produrre oggetti socialmente utili. Per capirci: anche le regole matematiche e le formule sono oggetti socialmente utili a condizione che costituiscano la fase terminale, la conclusione di esperienze operative veramente vissute, condivise insieme, il risultato finale di una ricerca, che oltrepassino la soglia delle abilità disciplinari per varcare quella della competenza.
Per quanto riguarda i valori noi crediamo che l’educazione alla socialità e lo spirito di cooperazione non si ottengono PARLANDO agli allievi dei principi-valori da acquisire, ma organizzando loro situazioni reali e concrete in ambienti opportunamente allestiti, in cui i valori stessi possano essere VISSUTI sul campo, attuati come esperienza funzionale ed impegno personale, in un contesto di lavoro collaborativo, autenticamente problematico, non simulato in termini di puro esercizio.
Giova ricordare che in tale contesto la cooperazione, oltre a costituire un valore sociale ed etico, diventerà una risorsa reciproca.
Si obietta generalmente che il tempo a scuola, purtroppo, è poco!
Emma Castelnuovo sostiene giustamente che la didattica della matematica “è una scienza a sé” ed illustra la “tanta” geometria che è riuscita ad insegnare facendo costruire le figure geometriche con astine del meccano e strisce forate: operazione che richiedeva tempi piuttosto lunghi se confrontati con il numero di enunciati, relativi esercizi e interrogazioni alla lavagna somministrabili in un tempo assai breve.
I fatti dimostrano che un metodo didatticamente valido come quello prima citato, fondato su basi scientifiche e mobilità della struttura, visualizzazione immediata delle trasformazioni, associazione concreta fra percezione e azione fornisce risultati positivi in un certo tempo, mentre la pura trasmissione di nozioni non li fornisce, qualsiasi sia la quantità di tempo impiegato.
Secondo voi, dunque, come se ne esce?
Al momento attuale, di tempi sempre più ristretti, le proposte come quella di Emma Castelnuovo restano validissime. A livello di corsi di formazione e di aggiornamento sono ben conosciute, ma quasi mai APPLICATE nel quotidiano lavoro nelle classi per “mancanza di tempo e di materiali adatti”: questo a più di quarant’anni di distanza. Ed ecco che l’insegnante della “quarta B” che conosce ed apprezza le tecniche apprese nel corso di formazione, ma deve seguire 20-25 scolari/e ed ha 3 ore settimanali a disposizione … ritorna in classe e si affida - suo malgrado - alla cattedra, alla lavagna e al libro di testo. Questo è quello che succede in realtà: non sempre, ma nella maggior parte dei casi.
Abbiamo parlato del lavoro della Castelunovo, portandolo a titolo di esempio, ma il problema è generale. Come se ne esce? La soluzione non passa né attraverso nuove e raffinate proposte di formazione e aggiornamento, né in vani tentativi di re-distribuzione e semplice estensione dei tempi a disposizione. A nostro avviso risiede innanzitutto nel prendere coscienza della necessità di ripensare le attività matematiche da svolgere a scuola in un’ottica del tutto nuova, sia per quel che riguarda le condizioni strutturali necessarie (laboratori, materiali allestiti in modo efficiente), sia sul piano della professionalità degli insegnanti (disponibilità ad assumere un ruolo diverso). Insomma – come afferma Edgar Moren – occorre una “riforma del pensiero” per attuare una riforma dell’insegnamento che persegua una testa ben fatta al posto di una testa ben piena.
Potete fare un esempio pratico?
Ritornando alla Castelnuovo e a titolo di esempio: nella nostra PROPOSTA DI LABORATORIO è stato realizzato un set di astine forate ed opportunamente dimensionate con il quale è possibile svolgere tutte le attività sulle figure geometriche piane. Le opportunità didattiche del materiale sono state ulteriormente ampliate con la realizzazione di un piano grafico strutturato che permette di visualizzare meglio le trasformazioni geometriche. Senza addentrarci nell’aspetto didattico (sarebbero necessari altri tempi ed altro spazio) è invece utile sottolineare che ogni bambino dispone di un set e di una piano grafico. Abbiamo volutamente parlato di un materiale strutturato “pronto all’uso”, efficiente ma forse privo del fascino, della suggestione degli oggetti di fortuna, e senza le caratteristiche dell’improvvisazione e della spontaneità: aspetti molto cari a molti professionisti delle pubblicazioni per la scuola impegnati nella ricerca del MEGLIO TEORICO. Quella che ci interessa, infatti, è la concreta efficacia didattica nella ricaduta cognitiva e operativa, che ripetutamente abbiamo potuto verificare sul campo.
Ci volete chiarire questo passaggio?
Bertrand Russel, nella sua “Storia della filosofia occidentale”, osserva che nel periodo d’oro della filosofia greca, quando Aristotele sviluppava i suoi edifici di logica, la coltivazione delle campagne, essenziale fonte di sostentamento, era affidata agli schiavi, il cui aratro era costituito sostanzialmente da un bastone munito di un grosso chiodo.
Qual è l’idea di fondo, la novità a livello del “progetto formativo” complessivo di una proposta operativa?
La validazione nel lavoro con i materiali, implicita in questa proposta, fornisce il senso di conoscenza su quello che si fa piuttosto che il senso di credenza a quello che si è detto. Elio Vittorini, nel suo “Diario in pubblico” affermava che “Occorre più intelligenza […] che gli intellettuali non abbiano. Occorre pensare con tutto il corpo. Che cos’è l’intellettualismo? Pensare solo con la mente.”
Il mondo costruito – oltreché quello naturale – i passaggi storici e le condizioni sociali che ne hanno determinato l’attuale assetto, lo studio critico dei rapporti umani nella società odierna: sono questi aspetti che rendono necessario riproporre in essa la figura dell’uomo come “homo faber”, che è insieme ideatore, costruttore e fruitore: sono queste le direttrici sulle quali fondare un progetto educativo che non intenda avallare l’appiattimento su modelli sociali che tendono a trasformare l’essere umano da “compartecipe alla civiltà” a semplice consumatore di oggetti e fruitore passivo di servizi.
In questo senso, ogni autentica proposta educativa, nell’attuale momento, si configura come opera di opposizione, di resistenza positiva ad un modello che nega il diritto universale di cittadinanza, la quale non può che partire dal suo pieno esercizio fin dai banchi della scuola.
Potete chiarire il senso di “homo faber” anche rispetto alla figura dell’insegnante?
Michelangelo si occupava di marmo e scalpelli così come Célestin Freinet si occupava della macchina tipografica e di bulini: non aveva intenzione di formare tipografi professionisti. L’utilizzazione di attrezzi per forare, tagliare, assemblare o di regoli per seriare, calcolare e misurare può avere lo stesso valore per la matematica operativa.
Naturalmente all’insegnante si richiede non solo di saper usare gli specifici attrezzi didattici ma insieme di saper organizzare l’officina e di scegliere gli strumenti adeguati al lavoro da svolgere, di affidare le consegne appropriate al livello dei propri addetti e non di eseguirle in base ad un programma astratto, predeterminato annualmente.
Certamente non è oggi immaginabile che un insegnante divenga di punto in bianco un provetto artigiano polivalente: quello che si può e si deve chiedere è una diversa apertura, una concreta disponibilità ad ampliare le sue competenze sul piano della operatività sui materiali (a partire dall’uso del corpo), diversi dalla carta e dal cartoncino Bristol, e sugli attrezzi strutturati che può esser utile saper utilizzare, oltre alla penna, al gesso, allo squadretto (e anche al computer stesso, se questo è inserito solo in un’operatività virtuale senza una precedente base di esperienza materiale).
Quale ruolo sul piano dell’apprendimento affidate, dunque, ai materiali?
A livello elementare il bambino si comporta “da matematico” quando è in grado di utilizzare correttamente una serie di strutture qualitative e dei criteri relazionali; poco importa se in una prima fase mancherà la formalizzazione verbale e grafica: quello che conta è l’esistenza di una completa formalizzazione a livello percettivo e attivo, riconoscibile anche solo nell’azione. In un secondo momento non sarà più necessario intraprendere le azioni: il loro sostituto virtuale sarà reso dinamico a livello di pensiero, fondato su una comprensione autentica, a “tutto tondo”.
Gli allievi “costretti” a verbalizzare situazioni non adeguatamente esplorate a livello percettivo e attivo non avranno a disposizione queste dimensioni, questa capacità di vedere il reale ed il concreto, senza i quali qualsiasi simbolo o procedura è priva di sostegno e di significato operativo. L’attività matematica a questo livello sarà necessariamente centrata sull’agire e sul percepire: il simbolo concreto diverrà poi l’artefice del pensiero astratto. La professionalità docente sta proprio nel cogliere correttamente i tempi e sostenere le condizioni e i modi di questo passaggio cognitivo.
“Materiali”, un termine un po’ generico. Potete meglio approfondire il senso didattico che assegnate a questo termine.
Possiamo definire “modello matematico” qualunque materiale capace di includere, tradurre o suggerire idee matematiche: esso si può quindi considerare come l’immagine che traduce e dà corpo ad un’idea che si fa astratta. Tenendo presente che “concreto” ed “astratto” non sono idee assolute e che a livello di scuola di base la percezione e l’azione costituiscono i due fondamenti dell’apprendere, sarà necessario che i primi modelli siano in grado di sostenerli entrambi: in sostanza dovranno creare situazioni attive di apprendimento.
Al di là della funzione specifica, dell’uso che se ne farà, i modelli possono essere di tre tipi: pronti all’uso, cioè sussidi strutturati, materiali poveri ed occasionali o realizzati finalisticamente a scuola dagli stessi allievi. In ognuna di queste ipotesi occorrono competenze diversificate da parte dei docenti, più ricca sarà la loro specifica competenza e duttilità didattica più efficace sarà l’esito nei livelli d’apprendimento da parte di tutti gli alunni.
È evidente che quelli da costruire richiedono tempi per predisporre, competenze per programmare e attrezzature per eseguire (un autentico laboratorio-officina) che ben poche realtà scolastiche possono offrire e che ben pochi insegnanti intendono e sono in grado di affrontare: eppure un’attività matematica centrata su questo tipo di lavoro dovrebbe costituire il nucleo più importante, la base sulla quale costruire esperienze fondamentali per l’apprendimento operativo e trasformativo.
La proposta del “laboratorio mobile di matematica operativa MATEMIXER” vuol tentare di comprendere e venire incontro a questa carenza strutturale e difficoltà professionale attraverso la messa a disposizione di una serie di materiali strutturati che comunque consentano di attivare una metodologia di laboratorio fin dalla Scuola dell’Infanzia.
Quale funzione specifica viene affidata ai vostri “materiali strutturati”?
Il ricorrere alla pratica, allo strumento o al modello geometrico o meccanico ha senso ed importanza in quanto agevola il processo d’apprendimento, in quanto chiarisce ed approfondisce la comprensione del concetto, lo svolgimento di una procedura, suggerendo analogie e nuovi sviluppi: questa è la funzione dei materiali didattici strutturati in generale. Analogamente alla parola dell’insegnante, al testo e alla illustrazione dei libri, essi si propongono quali filtri operativi specifici, adatti in determinate circostanze e non in altre.
A livello di matematica elementare offrono contributi decisivi: la programmazione del “lavoro in laboratorio di matematica”, centrata sulle tecniche e sui materiali che la supportano, dovrebbe costituire l’asse portante dell’insegnante di questa disciplina. Risulta ovvio che il docente deve ben conoscere le potenzialità didattiche dei singoli materiali, utilizzarli nella fase opportuna dello sviluppo cognitivo dei singoli allievi, intercalarne l’uso con altri e altre modalità espressive e oprerative e tecniche d’intervento per favorire il consolidamento nell’apprendimento di un concetto e nel raggiungimento non solo di abilità d’uso ma di competenza funzionale all’azione in nuovi contesti problematici.
Voi riservate un ampio spazio alla geometria, contrariamente a quanto normalmente accade a scuola nonché nei sussidiari e libri di testo di matematica. Come mai?
La geometria dovrebbe essere uno dei mezzi più proficui per sviluppare l’intelligenza, ma a livello elementare essa va trattata in modo ben diverso che in età adulta. Sembrerebbe un’ovvietà, eppure diversi testi scolastici utilizzano ancora un linguaggio tipo: “sia dato un triangolo isoscele qualunque”, che è frase ricca di significato, che rimanda a diversi movimenti e a diverse possibilità di variazioni e trasformazioni, ma che è priva di significato per la mente infantile della maggior parte degli allievi che non riescono a “vedere”, nella loro immaginazione, un triangolo isoscele “qualunque”, ma semplicemente “il” triangolo riprodotto sulla pagina del libro. L’ostacolo viene superato solo se il bambino ha a disposizione quanto occorre per costruire da sé diversi triangoli e ragionarci sopra. Cioè se viene introdotto ed abituato a manipolare e riflettere su una geometria delle trasformazioni.
È un fatto storico che lo sviluppo del simbolismo geometrico è stato assai lento: per più di duemila anni la figura geometrica è stata concepita come fissa e rigida: esattamente come per i greci antichi essa serviva ad illustrare il percorso mentale, le connessioni verbali basate sulle proprietà astratte, piuttosto che sulla configurazione così come viene percepita. Tale connessione si riverbera ancora sul modo d’insegnare la geometria anche al giorno d’oggi.
Fare geometria, partendo dalla sua applicazione nella realtà circostante (dall’aula, al quartiere, all’officina, nell’arte, …nel tempo), comporta non solo dare senso alla geometria che si fa ma impostare una didattica transdisciplinare, proiettandola verso una visione ecologica e sistemica della sua utilizzazione ed espressione.
Perché avete dedicato un intero capitolo all’architettura e all’arte? È piuttosto inconsueto trovare una tale proposta nei testi di matematica della scuola dell’obbligo.
L’oggetto figurativo, anche a livello di estetica infantile, è la base del pensiero plastico, si pone in qualunque modo come tramite per superare i conflitti (arte e società, arte e tecnica, arte e matematica). La conoscenza della bellezza è una delle forme della conoscenza stessa ed al contempo una forza potente sulla via dell’autonomia, della libertà individuale, della personalizzazione, cioè dell’IDENTITÀ attiva.
Esistono autorevoli tendenze, peraltro scarsamente ascoltate, che vedono nell’insegnamento artistico il centro del processo produttivo, soprattutto a livello infantile e adolescenziale (ed in Freinet questo aspetto era ben presente), partendo sempre dal patrimonio della cultura occidentale, ma mettendo al centro non la letteratura, la filosofia, la storia (il pensiero “scritto”), bensì il pensiero plastico, l’immagine, la comprensione del visibile costruito. È innegabile che l’elevarsi della visione (e di ogni altra funzione sensoriale) è strettamente correlato allo sviluppo mentale, basti pensare alla visione prospettica. Dal momento che l’esperienza fa acquistare ad ogni immagine delle qualità nuove che si evidenziano attraverso una capacità di percepire ciò che prima non lo era stato, possiamo attribuire all’immagine stessa un dinamismo che la rende mobile nel reticolo mentale, evocabile in qualsiasi momento quale “sostituto del reale”: prima di agire sul reale, infatti, si agisce sulle immagini e solo successivamente tale azione diverrà effettiva, concreta.
Non sembra azzardato affermare che anche il pensiero matematico sia fondato sulle immagini, quindi su percezioni e azioni, ed ogni operazione matematica rechi le “tracce” della sua origine attiva, fondata sul concreto.
Stabilire didatticamente un rapporto e fondare una lettura e conoscenza matematica partendo dalla strutturazione dello spazio e, dunque, anche dalle manifestazioni plastiche (dall’oggettistica all’arredo, dall’edilizia all’urbanistica, dalla tecnologia meccanica all’arte figurativa) comporta di volta in volta coniugare percezione e sensazione, ragione ed emozione, forma e significato, tempo e modello, struttura e relazioni. Significa assicurare alla formazione logico-matematica di base un orizzonte ampio, un atteggiamento flessibile e un respiro vitale.
È possibile una ricerca-azione didattica a prescindere dalla base tecnica, strumentale?
Il limite basilare nello sviluppo evolutivo impresso dalla scuola sta nella mancanza, o comunque dalla grave carenza, di riferimenti strumentali pertinenti. Sostanzialmente: nella pretesa di stimolare i processi d’apprendimento in base a trasmissione di contenuti e a esperienze formali ed esercizi svolti a tavolino. Per studiare le stelle esiste il telescopio, per studiare gli insetti si usa il microscopio, per studiare l’interno del corpo umano ci sono i raggi x; nei laboratori nei quali si fa ricerca – di qualsiasi tipo – esistono i ritrovati più moderni che la tecnologia ha messo a disposizione della scienza: è con essi che si lavora e c’è sviluppo.
Lo studio e l’intervento didattico sui meccanismi dell’apprendimento dovrebbe quindi comprendere anche la ricerca e la realizzazione di quanto necessario, in termini materiali e strumentali, solo così si può predisporre sperimentazione efficace e puntare all’ incremento massimo d’un apprendimento competente nel bambino-ragazzo/a.
Lo sviluppo evolutivo può essere accelerato nella misura in cui l’intervento risponde a bisogni e processi naturali. Prescindere nell’azione didattica dal corpo e dai suoi bisogni di movimento, dalle mani e dall’operare materiale, dalle percezioni e dalle sensazioni e, quindi, dal rapporto con lo sfondo operativo, significa saltare la base materiale della vita, che è il fondamento della possibilità relazionale e, dunque come affermava Lev Vygotskij, dello sviluppo mentale significativo.